Seja
uma matriz involução e sejam
Mostre que
e
são ambas idempotentes e
.
Passo 1
O enunciado dá as matrizes
onde
é uma matriz involução. Isso significa que nos foi dado que
O que precisamos provar é:
- que
e são idempotentes, isto é, mostrar e ; - que
(a matriz nula).
Vou usar apenas propriedades elementares de matrizes: distributividade da multiplicação sobre a soma, associatividade e a regra de multiplicar escalares por produtos de matrizes (por exemplo,
).
Passo 2
Primeiro, lembrando a definição que vamos utilizar: uma matriz
é idempotente se
. Vamos calcular
explicitamente para verificar isso.
Escrevendo
e expandindo:
Pelo fato de um produto de escalares multiplicar a matriz, isso é
Agora expandimos o produto
usando distributividade:
Como
é involução, substituímos
:
Portanto
Isso mostra que
é idempotente (
).
Passo 3
Agora fazemos o mesmo para
. Pela definição,
Expandindo
:
Usando
vem
Assim
Logo
também é idempotente (
).
Passo 4
Falta mostrar que
é a matriz nula. Calculamos diretamente:
Expandindo o produto:
Os termos
e
se cancelam, ficando
Usando
chegamos a
portanto
Assim
é a matriz nula.
Passo 5
Para fixar a intuição, um exemplo concreto rápido: tome
. Então
, e
Nesses casos é imediato ver
,
e
. Esse exemplo mostra que
e
atuam como projeções mutuamente ortogonais (no sentido algébrico) associadas a autovalores
e
de
.