Seja A uma matriz involução e sejam
B=\frac{1}{2}(I+A) \quad \text { e } \quad C=\frac{1}{2}(I-A)
Mostre que B e C são ambas idempotentes e B C=O.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
B=\frac{1}{2}(I+A)\quad\text{e}\quad C=\frac{1}{2}(I-A)
onde A é uma matriz involução. Isso significa que nos foi dado que
A^{2}=I.
O que precisamos provar é:
  • que B e C são idempotentes, isto é, mostrar B^{2}=B e C^{2}=C;
  • que BC=O (a matriz nula).
Vou usar apenas propriedades elementares de matrizes: distributividade da multiplicação sobre a soma, associatividade e a regra de multiplicar escalares por produtos de matrizes (por exemplo, \lambda (XY)=(\lambda X)Y=X(\lambda Y)).

Passo 2

Primeiro, lembrando a definição que vamos utilizar: uma matriz P é idempotente se P^{2}=P. Vamos calcular B^{2} explicitamente para verificar isso.
Escrevendo B^{2} e expandindo:
B^{2}=\left(\tfrac{1}{2}(I+A)\right)\left(\tfrac{1}{2}(I+A)\right)
Pelo fato de um produto de escalares multiplicar a matriz, isso é
B^{2}=\tfrac{1}{4}(I+A)(I+A).
Agora expandimos o produto (I+A)(I+A) usando distributividade:
(I+A)(I+A)=I\cdot I+I\cdot A + A\cdot I + A\cdot A = I + A + A + A^{2} = I + 2A + A^{2}.
Como A é involução, substituímos A^{2}=I:
I + 2A + A^{2} = I + 2A + I = 2I + 2A.
Portanto
B^{2}=\tfrac{1}{4}(2I+2A)=\tfrac{1}{2}(I+A)=B.
Isso mostra que B é idempotente ( B^{2}=B).

Passo 3

Agora fazemos o mesmo para C. Pela definição,
C^{2}=\left(\tfrac{1}{2}(I-A)\right)\left(\tfrac{1}{2}(I-A)\right)=\tfrac{1}{4}(I-A)(I-A).
Expandindo (I-A)(I-A):
(I-A)(I-A)=I\cdot I - I\cdot A - A\cdot I + A\cdot A = I - A - A + A^{2} = I - 2A + A^{2}.
Usando A^{2}=I vem
I - 2A + A^{2} = I - 2A + I = 2I - 2A.
Assim
C^{2}=\tfrac{1}{4}(2I-2A)=\tfrac{1}{2}(I-A)=C.
Logo C também é idempotente ( C^{2}=C).

Passo 4

Falta mostrar que BC é a matriz nula. Calculamos diretamente:
BC=\left(\tfrac{1}{2}(I+A)\right)\left(\tfrac{1}{2}(I-A)\right)=\tfrac{1}{4}(I+A)(I-A).
Expandindo o produto:
(I+A)(I-A)=I\cdot I - I\cdot A + A\cdot I - A\cdot A = I - A + A - A^{2}.
Os termos -A e +A se cancelam, ficando
I - A^{2}.
Usando A^{2}=I chegamos a
I - A^{2}=I - I = O,
portanto
BC=\tfrac{1}{4}\,O = O.
Assim BC é a matriz nula.

Passo 5

Para fixar a intuição, um exemplo concreto rápido: tome A=\operatorname{diag}(1,-1). Então A^{2}=I, e
B=\tfrac{1}{2}(I+A)=\operatorname{diag}(1,0),\qquad C=\tfrac{1}{2}(I-A)=\operatorname{diag}(0,1).
Nesses casos é imediato ver B^{2}=B, C^{2}=C e BC=O. Esse exemplo mostra que B e C atuam como projeções mutuamente ortogonais (no sentido algébrico) associadas a autovalores 1 e -1 de A.

Resposta

B^{2}=B,\quad C^{2}=C
BC=O

Exercícios relacionados