Seja D uma matriz diagonal n \times n, cujos elementos na diagonal são 0 ou 1 .
(a) Mostre quc D é idempotente.
(b) Mostre que se X é uma matriz não singular e A=X D X^{-1}, então A é idempotente.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados:
D é uma matriz diagonal n\times n. Seus elementos da diagonal são iguais a 0 ou 1. Ou seja, D=\operatorname{diag}(d_{11},d_{22},\dots,d_{nn}) com cada d_{ii}\in\{0,1\}.
X é uma matriz não singular (invertível), logo existe X^{-1}.
Define-se A = X D X^{-1}.
Pedidos:
(a) Mostrar que D é idempotente.
(b) Mostrar que A é idempotente.
Passo 2
Primeiro, vamos fixar a definição que vamos usar: uma matriz M é idempotente quando
M^2 = M.
Explicando de forma direta: multiplicar M por ela mesma dá novamente M. Essa é a condição que precisamos verificar para D e para A.
Também precisamos de duas propriedades simples de multiplicação de matrizes que usaremos sem medo:
A multiplicação de matrizes é associativa: para matrizes compatíveis, (PQ)R = P(QR).
Se X é invertível, então X^{-1}X = XX^{-1} = I, a matriz identidade.
Passo 3
Vamos olhar para D. Como D é diagonal, o produto D^2 é também uma matriz diagonal cujos elementos na diagonal são os quadrados dos elementos diagonais de D. Formalmente, se D=\operatorname{diag}(d_{11},\dots,d_{nn}), então
D^2=\operatorname{diag}(d_{11}^2,\dots,d_{nn}^2).
Mas como cada d_{ii} vale 0 ou 1, temos d_{ii}^2=d_{ii} para todo i (pois 0^2=0 e 1^2=1). Portanto os elementos diagonais de D^2 coincidem com os de D, isto é,
D^2=\operatorname{diag}(d_{11},\dots,d_{nn})=D.
Assim D^2=D, e pela definição D é idempotente.
Passo 4
Agora (b). Temos A=X D X^{-1} com X invertível. Vamos calcular A^2 e mostrar que é igual a A. Usando associatividade da multiplicação:
A^2 = (X D X^{-1})(X D X^{-1}) = X D \underbrace{X^{-1}X}_{I} D X^{-1}.
Como X^{-1}X=I, isso simplifica para
A^2 = X D I D X^{-1} = X D^2 X^{-1}.
Mas do Passo 3 já sabemos que D^2=D. Substituindo:
A^2 = X D X^{-1} = A.
Portanto A^2=A, ou seja, A é idempotente.
Passo 5
Comentário didático curto (pra fixar): o que fizemos em (b) é uma forma de mostrar que a operação de conjugação por uma matriz invertível (isto é, M\mapsto XMX^{-1}) preserva relações polinomiais satisfeitas por M. Especificamente, se p(D)=0 para algum polinômio p, então p(XDX^{-1})=X p(D) X^{-1}=0. No nosso caso o polinômio é p(t)=t^2-t, e p(D)=0 implica p(A)=0, que é exatamente a idempotência de A.
Resposta
(a) D^2=D, logo D é idempotente.
(b) A^2=A, logo A é idempotente.