Seja A uma matriz idempotente.
Mostre que I+A é não singular e (I+A)^{-1}=
I-\frac{1}{2} A

Passo 1

O enunciado dá que A é uma matriz idempotente e pede duas coisas:
  • Mostrar que I+A é não singular (ou seja, inversível).
  • Mostrar que (I+A)^{-1} = I - \dfrac{1}{2}A.
Informações relevantes dadas:
  • A é idempotente, isto é, vale
A^2 = A.

Passo 2

Vamos lembrar o que significam os termos e fixar a estratégia.
  • Definição: uma matriz M é não singular (ou inversível) se existe uma matriz N tal que
M N = N M = I.
Essa N é então o inverso de M e denotamos N = M^{-1}.
  • Estratégia: apresentar um candidato explícito para o inverso de I+A (sugestão do enunciado: I-\dfrac{1}{2}A) e verificar que multiplicando I+A por esse candidato (à esquerda e à direita) obtemos a identidade. Se isso ocorrer, provamos que I+A tem inverso (logo é não singular) e que o inverso é exatamente esse candidato.

Passo 3

Calcular o produto à esquerda (I+A)\bigl(I-\tfrac{1}{2}A\bigr) e simplificar passo a passo, explicando cada termo.
Escrevendo a multiplicação e expandindo:
(I+A)\Bigl(I-\tfrac{1}{2}A\Bigr) = I\cdot I - \tfrac{1}{2}I\cdot A + A\cdot I - \tfrac{1}{2}A\cdot A.
Usando I\cdot I = I, I\cdot A = A, A\cdot I = A e A\cdot A = A^2, fica
(I+A)\Bigl(I-\tfrac{1}{2}A\Bigr) = I - \tfrac{1}{2}A + A - \tfrac{1}{2}A^2.
Agora usamos a idempotência A^2 = A. Substituindo:
I - \tfrac{1}{2}A + A - \tfrac{1}{2}A = I +\bigl(-\tfrac{1}{2}A + A - \tfrac{1}{2}A\bigr).
Os coeficientes de A somam -\tfrac{1}{2} + 1 - \tfrac{1}{2} = 0, então
(I+A)\Bigl(I-\tfrac{1}{2}A\Bigr) = I.

Passo 4

Para garantir que realmente é o inverso (às vezes é preciso checar ambos os lados), calculemos também o produto na ordem inversa \bigl(I-\tfrac{1}{2}A\bigr)(I+A):
Expandindo:
\Bigl(I-\tfrac{1}{2}A\Bigr)(I+A) = I\cdot I + I\cdot A - \tfrac{1}{2}A\cdot I - \tfrac{1}{2}A\cdot A.
Usando as mesmas simplificações ( I\cdot A=A, A\cdot I=A, A\cdot A=A^2):
= I + A - \tfrac{1}{2}A - \tfrac{1}{2}A^2 = I +\bigl(1-\tfrac{1}{2}\bigr)A - \tfrac{1}{2}A^2.
Com A^2=A obtemos
I + \tfrac{1}{2}A - \tfrac{1}{2}A = I.
Portanto também à direita obtemos a identidade:
\Bigl(I-\tfrac{1}{2}A\Bigr)(I+A)=I.

Passo 5

Concluímos que a matriz I-\dfrac{1}{2}A é tanto inverso à esquerda quanto inverso à direita de I+A. Pela unicidade do inverso (se existe uma matriz que é inverso à esquerda e à direita ela é o inverso único), isso prova que I+A é inversível (não singular) e que seu inverso é exatamente I-\dfrac{1}{2}A.
Exemplo concreto pequeno para intuição: tome \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix} (idempotente). Então
I+A=\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix},\qquad I-\tfrac{1}{2}A=\begin{pmatrix}1/2&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix},
e de fato (I+A)\bigl(I-\tfrac{1}{2}A\bigr)=I.]

Resposta

I+A é não singular.
(I+A)^{-1}=I-\frac{1}{2}A

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