Seja
uma matriz idempotente.
Mostre que
é não singular e
Mostre que
Passo 1
O enunciado dá que
é uma matriz idempotente e pede duas coisas:
- Mostrar que
é não singular (ou seja, inversível). - Mostrar que
.
Informações relevantes dadas:
-
é idempotente, isto é, vale
Passo 2
Vamos lembrar o que significam os termos e fixar a estratégia.
- Definição: uma matriz
é não singular (ou inversível) se existe uma matriz tal que
Essa
é então o inverso de
e denotamos
.
- Estratégia: apresentar um candidato explícito para o inverso de
(sugestão do enunciado: ) e verificar que multiplicando por esse candidato (à esquerda e à direita) obtemos a identidade. Se isso ocorrer, provamos que tem inverso (logo é não singular) e que o inverso é exatamente esse candidato.
Passo 3
Calcular o produto à esquerda
e simplificar passo a passo, explicando cada termo.
Escrevendo a multiplicação e expandindo:
Usando
,
,
e
, fica
Agora usamos a idempotência
. Substituindo:
Os coeficientes de
somam
, então
Passo 4
Para garantir que realmente é o inverso (às vezes é preciso checar ambos os lados), calculemos também o produto na ordem inversa
:
Expandindo:
Usando as mesmas simplificações (
,
,
):
Com
obtemos
Portanto também à direita obtemos a identidade:
Passo 5
Concluímos que a matriz
é tanto inverso à esquerda quanto inverso à direita de
. Pela unicidade do inverso (se existe uma matriz que é inverso à esquerda e à direita ela é o inverso único), isso prova que
é inversível (não singular) e que seu inverso é exatamente
.
Exemplo concreto pequeno para intuição: tome
(idempotente). Então
e de fato
.]