Seja a matriz A=\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 3 & -2\end{array}\right]. Determine:
A^{3};

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}2 & -1 \\[6pt] 3 & -2\end{pmatrix}
e pede para calcular A^{3}. O conteúdo aqui é exponenciação de matriz, que faremos em dois passos: primeiro achamos A^{2} usando multiplicação de matrizes e depois A^{3}=A^{2}\,A.]

Passo 2

Para calcular
A^{2} = A \cdot A
usamos a definição de multiplicação de matrizes em dimensão 2\times2:
(A^{2})_{ij} = \sum_{k=1}^{2} A_{ik}\,A_{kj}.

Passo 3

Substituindo os elementos de A, temos
A^{2} = \begin{pmatrix} 2\cdot2 + (-1)\cdot3 & 2\cdot(-1) + (-1)\cdot(-2) \\[6pt] 3\cdot2 + (-2)\cdot3 & 3\cdot(-1) + (-2)\cdot(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 3 & -2 + 2 \\[6pt] 6 - 6 & -3 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[3pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Como
A^{2} = I_{2},
segue-se que
A^{3} = A^{2}\,A = I_{2}\,A = A.

Resposta

A^{3} = \begin{pmatrix}2 & -1 \\[3pt] 3 & -2\end{pmatrix}.]

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