O determinante da matriz
A=\left[\begin{array}{llll} 2 & 3 & -1 & 2 \\\\ 0 & 4 & -3 & 5 \\\\ 1 & 2 & 1 & 3 \\\\ 0 & 4 & 1 & 0 \end{array}\right]
é:
a. 1
b. -109
C. -1
d. -119

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 2\\\\ 0 & 4 & -3 & 5\\\\ 1 & 2 & 1 & 3\\\\ 0 & 4 & 1 & 0 \end{pmatrix}
e pede \det(A). Como a primeira coluna tem dois zeros, é conveniente usar a expansão de Laplace por essa coluna.

Passo 2

Pela expansão de Laplace na primeira coluna, só contribuem as entradas a_{11}=2 e a_{31}=1. Assim
\det(A) =2 \,C_{11} + 1 \,C_{31},
onde C_{i1}=(-1)^{i+1}\det(M_{i1}). Como (-1)^{1+1}=(-1)^{3+1}=1, temos
\det(A) =2\det(M_{11}) + \det(M_{31}),
com os menores
M_{11}=\begin{pmatrix} 4 & -3 & 5\\\\ 2 & 1 & 3\\\\ 4 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad M_{31}=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 2\\\\ 4 & -3 & 5\\\\ 4 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular \det(M_{11}) por regra de Sarrus ou Laplace em 3\times 3:
\det(M_{11}) =4\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & 3\\\ 1 & 0\end{pmatrix} -(-3)\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 3\\\ 4 & 0\end{pmatrix} +5\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 4 & 1\end{pmatrix}.
Aqui
\det\begin{pmatrix}1 & 3\\\ 1 & 0\end{pmatrix}=-3,\quad \det\begin{pmatrix}2 & 3\\\ 4 & 0\end{pmatrix}=-12,\quad \det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 4 & 1\end{pmatrix}=-2,
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\det(M_{11})=4(-3)-(-3)(-12)+5(-2)=-12-36-10=-58.

Passo 4

Calcular \det(M_{31}):
\det(M_{31}) =3\cdot\det\!\begin{pmatrix}-3 & 5\\\ 1 & 0\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\!\begin{pmatrix}4 & 5\\\ 4 & 0\end{pmatrix} +2\cdot\det\!\begin{pmatrix}4 & -3\\\ 4 & 1\end{pmatrix}.
Aqui
\det\begin{pmatrix}-3 & 5\\\ 1 & 0\end{pmatrix}=-5,\quad \det\begin{pmatrix}4 & 5\\\ 4 & 0\end{pmatrix}=-20,\quad \det\begin{pmatrix}4 & -3\\\ 4 & 1\end{pmatrix}=16,
portanto
\det(M_{31})=3(-5)-(-1)(-20)+2\cdot16=-15-20+32=-3.

Passo 5

Substituindo em \det(A)=2\det(M_{11})+\det(M_{31}), obtemos
\det(A)=2(-58)+(-3)=-116-3=-119.

Resposta

-119

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