Seja
uma matriz não singular. Mostre que
também é não singular e
.
Passo 1
O enunciado nos dá que
é uma matriz não singular. Isso significa que existe uma matriz chamada
tal que
onde
é a matriz identidade (aquela que tem
s na diagonal principal e
s em todos os demais postos).
O que o problema pede é: mostrar que também é não singular (ou seja, que tem inversa) e provar que
O que o problema pede é: mostrar que
Passo 2
Vamos lembrar e explicar direitinho a definição que estamos usando. Uma matriz
é chamada não singular (ou invertível) se existe outra matriz
tal que
Essa matriz
é chamada inversa de
e costuma ser denotada por
. A igualdade em ambos os lados (
e
) garante que
é ao mesmo tempo inversa à esquerda e à direita de
. A multiplicação de matrizes é associativa, isto é, para quaisquer matrizes com dimensões compatíveis vale
Vamos usar essa propriedade quando necessário.
Passo 3
Partimos da hipótese:
é não singular, então existe
com
Agora observe: as igualdades acima mostram que se tomarmos a matriz
como a nova “matriz principal”, a matriz
satisfaz
Ou seja,
é uma inversa (à esquerda e à direita) de
.
Passo 4
Pela definição vista no Passo 2, encontrar uma matriz
tal que
é exatamente mostrar que
é não singular. Pelo Passo 3, podemos escolher
. Assim concluímos diretamente que
tem inversa (que é
), portanto
é não singular.
Passo 5
Resta concluir que a inversa de
é exatamente
, ou seja,
. Para ser completamente rigoroso, podemos lembrar que a inversa de uma matriz, quando existe, é única. A prova da unicidade é curta e útil: se
e
são duas inversas de uma mesma matriz
, então
onde usamos associatividade e o fato de
e
. Portanto não podem existir duas inversas diferentes. Aplicando isso ao caso
, já vimos que
é uma inversa de
; pela unicidade da inversa segue que essa é a única, logo