Seja A uma matriz não singular. Mostre que A^{-1} também é não singular e \left(A^{-1}\right)^{-1}=A.

Passo 1

O enunciado nos dá que A é uma matriz não singular. Isso significa que existe uma matriz chamada A^{-1} tal que
A A^{-1} = A^{-1} A = I,
onde I é a matriz identidade (aquela que tem 1s na diagonal principal e 0s em todos os demais postos).
O que o problema pede é: mostrar que A^{-1} também é não singular (ou seja, que tem inversa) e provar que
\bigl(A^{-1}\bigr)^{-1} = A.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar direitinho a definição que estamos usando. Uma matriz M é chamada não singular (ou invertível) se existe outra matriz N tal que
M N = N M = I.
Essa matriz N é chamada inversa de M e costuma ser denotada por M^{-1}. A igualdade em ambos os lados ( M N = I e N M = I) garante que N é ao mesmo tempo inversa à esquerda e à direita de M. A multiplicação de matrizes é associativa, isto é, para quaisquer matrizes com dimensões compatíveis vale
(XY)Z = X(YZ).
Vamos usar essa propriedade quando necessário.

Passo 3

Partimos da hipótese: A é não singular, então existe A^{-1} com
A A^{-1} = I \quad\text{e}\quad A^{-1} A = I.
Agora observe: as igualdades acima mostram que se tomarmos a matriz A^{-1} como a nova “matriz principal”, a matriz A satisfaz
A^{-1}\,A = I \quad\text{e}\quad A\,A^{-1} = I.
Ou seja, A é uma inversa (à esquerda e à direita) de A^{-1}.

Passo 4

Pela definição vista no Passo 2, encontrar uma matriz B tal que A^{-1}B = BA^{-1} = I é exatamente mostrar que A^{-1} é não singular. Pelo Passo 3, podemos escolher B=A. Assim concluímos diretamente que A^{-1} tem inversa (que é A), portanto A^{-1} é não singular.

Passo 5

Resta concluir que a inversa de A^{-1} é exatamente A, ou seja, \bigl(A^{-1}\bigr)^{-1}=A. Para ser completamente rigoroso, podemos lembrar que a inversa de uma matriz, quando existe, é única. A prova da unicidade é curta e útil: se B e C são duas inversas de uma mesma matriz M, então
B = B I = B(MC) = (BM)C = I C = C,
onde usamos associatividade e o fato de BM=I e MC=I. Portanto não podem existir duas inversas diferentes. Aplicando isso ao caso M=A^{-1}, já vimos que A é uma inversa de A^{-1}; pela unicidade da inversa segue que essa é a única, logo
\bigl(A^{-1}\bigr)^{-1} = A.

Resposta

A^{-1} é não singular.
\bigl(A^{-1}\bigr)^{-1} = A

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