Seja
é uma matriz de ordem
. Mostre que se
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz
de ordem
que satisfaz a equação
. Nosso objetivo é mostrar que o inverso de
, ou seja,
, é igual a
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas e equações matriciais, para resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos começar com a equação que foi dada:
Isso significa que quando a gente combina
ao quadrado, menos três vezes
, mais a matriz identidade
, o resultado é a matriz nula.
Passo 3
O que queremos é encontrar
, a matriz que, quando multiplicada por
, dá a matriz identidade. Para isso, vamos manipular a equação original para isolar
.
Passo 4
Vamos reorganizar a equação:
Agora, fatorando
dos dois primeiros termos:
Isso nos mostra uma relação direta entre
,
e
.
Passo 5
Para isolar
, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
:
Agora, se a gente multiplicar ambos os lados por
, temos:
Simplificando, lembrando que
:
Passo 6
Finalmente, tirando o sinal negativo:
E assim, mostramos que o inverso de
é realmente
.