Dados os pontos A=(1,1,1), B=(-2,-1,-3) e C=(0,2,-2), determine: A equação do plano que passa por A, B e C;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três pontos no espaço: A=(1,1,1), B=(-2,-1,-3) e C=(0,2,-2). O objetivo é determinar a equação do plano que passa por esses três pontos. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente vetores e produto vetorial.

Passo 2

Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal a ele. Para isso, vamos primeiro encontrar dois vetores que estão no plano. Podemos obter esses vetores subtraindo as coordenadas dos pontos dados.
Vamos calcular os vetores AB e AC:
AB = B - A = (-2-1, -1-1, -3-1) = (-3, -2, -4)
AC = C - A = (0-1, 2-1, -2-1) = (-1, 1, -3)

Passo 3

Com os vetores AB e AC encontrados, podemos determinar o vetor normal ao plano usando o produto vetorial desses dois vetores. O vetor normal n é perpendicular ao plano.
n = AB times AC = i & j & k -3 & -2 & -4 -1 & 1 & -3
Calculando o determinante:
n = i((-2)(-3) - (-4)(1)) - j((-3)(-3) - (-4)(-1)) + k((-3)(1) - (-2)(-1))
n = i(6 + 4) - j(9 - 4) + k(-3 -2)
n = (10, -5, -5)

Passo 4

Agora que temos o vetor normal n = (10, -5, -5) e conhecemos um ponto que está no plano, por exemplo, o ponto A=(1,1,1), podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) são as coordenadas do ponto A.
Substituindo os valores:
10(x - 1) -5(y - 1) -5(z -1) = 0
Distribuindo os termos:
10x -10 -5y +5 -5z +5 = 0
Simplificando:
10x -5y -5z =10
Podemos simplificar ainda mais dividindo todos os termos por 5:
2x - y - z =2

Resposta

A equação do plano que passa pelos pontos A, B e C é 2x - y - z = 2.

Exercícios relacionados