Sejam
e
dois subespaços vetoriais de
. Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois conjuntos de polinômios,
e
, que são subespaços vetoriais de
(o espaço dos polinômios de grau até 3). Nosso objetivo é encontrar a interseção desses dois conjuntos, ou seja, todos os polinômios que pertencem tanto a
quanto a
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações e subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o conjunto
. Ele é definido como:
Isso significa que qualquer polinômio em
tem a forma
, mas os coeficientes
e
precisam satisfazer a equação
. Vamos guardar essa equação para usar mais tarde.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é o conjunto
:
Aqui,
consiste em todos os polinômios de
cuja derivada avaliada em
é zero. Vamos calcular a derivada geral de um polinômio em
:
Queremos que
, então substituímos
por -1:
Então, a condição para
é:
Passo 4
Agora, temos duas equações que os coeficientes devem satisfazer:
-
(do conjunto ) -
(do conjunto )
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
e
que satisfazem ambas as condições.
Primeiro, da segunda equação, podemos expressar
em função de
e
:
Agora, substituímos esse valor de
na primeira equação:
Então, temos:
Isso significa que
está ligado a
e
está ligado a
e
. Podemos escolher
e
como parâmetros livres.
Passo 5
Vamos expressar os polinômios que pertencem à interseção
usando os parâmetros livres
e
:
Podemos fatorar
e
:
Então, os polinômios na interseção
são combinações lineares dos polinômios
e
.
Resposta
A interseção
é o conjunto de todos os polinômios da forma
onde
e
são números reais. Ou seja,