(a) Calcule os autovalores de A
(b) Calcule os autovetores ortonormais de A associados aos autovalores.
(c) Dê a matriz P tal que A=P^{T} D P, isto é, a matriz que diagonaliza A, onde D é a matriz diagonal formada pelos autovalores (Mostre a matriz D ).
(b) calcular autovetores ortonormais associados a esses autovalores;
(c) dar uma matriz P tal que A=P^{T} D P, mostrando também a matriz diagonal D formada pelos autovalores.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A é uma matriz real e simétrica (isto garante que existe uma base ortonormal de autovetores e que podemos diagonalizá-la por uma matriz ortogonal).
Os elementos de A estão explicitamente indicados; observa-se que a primeira linha/coluna está desacoplada das outras (zeros fora da diagonal na primeira linha/coluna), ou seja, há um bloco 2\times2 na parte inferior direita \begin{pmatrix}2&2\\[2pt]2&5\end{pmatrix} que define dois autovalores, e a entrada 3 na posição (1,1) costuma dar um autovalor imediato.]
Passo 2
Definição e método para encontrar autovalores (passo didático):
Um escalar \lambda é autovalor de A se existe vetor não nulo v tal que A v=\lambda v.
Os autovalores são raízes do polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
Aplicando isso à nossa matriz, aproveitamos a estrutura em blocos: como a primeira linha/coluna tem zeros fora de 3, nota-se imediatamente que \lambda=3 será um autovalor (vetor próprio com componente apenas na primeira coordenada). Para os outros autovalores consideramos o bloco 2\times2
B=\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]2 & 5\end{pmatrix}.
Os autovalores restantes são as raízes de \det(B-\lambda I)=0. Calculemos:
Observação: os vetores achados são não-nulos e estão alinhados com os autovalores correspondentes. Além disso, como A é simétrica, autovetores de autovalores distintos são ortogonais — isso podemos verificar explicitamente se quisermos.]
Passo 4
Normalizar os autovetores e obter um conjunto ortonormal (explicando a fórmula de normalização):
Para normalizar um vetor v calcula-se \|v\|=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}} e divide-se v por \|v\|.
Aplicando aos vetores encontrados:
(i) Para \lambda=3: v^{(3)}=(1,0,0)^{T} já tem norma \|v^{(3)}\|=1. Portanto o vetor unitário é
u^{(6)}\cdot u^{(1)}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot\left(-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)+\dfrac{2}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{-2+2}{5}=0.
Portanto \{u^{(3)},u^{(6)},u^{(1)}\} é um conjunto ortonormal de autovetores.]
Passo 5
Construir a matriz diagonal D e a matriz P que satisfaz A=P^{T} D P (explicação do porquê):
Se colocarmos os vetores unitários como colunas de uma matriz ortogonal Q, isto é,
então a diagonalização ortogonal dá A=Q D Q^{T}, onde D é a diagonal com os autovalores na mesma ordem das colunas de Q. Aqui escolhemos a ordem das colunas como (\lambda=3,\lambda=6,\lambda=1), então