Seja a matriz A,
A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 3 & 0 \\\\ 1 & 3 & 5 \end{array}\right)
(a) Calcule os cofatores da matriz A.
(b) Calcule o determinante de A.
(c) a partir de a ) e b ), calcule A^{-1} (a inversa de A ).

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 3 & 0\\[4pt] 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}
e pede três coisas:
(a) calcular os cofatores da matriz A;
(b) calcular o determinante de A;
(c) a partir de (a) e (b), calcular a inversa A^{-1}.]

Passo 2

Primeiro, relembrar definições e fórmulas importantes (passo-a-passo e sem pular etapas).
  • Menor (ou minor) M_{ij} é o determinante da matriz que se obtém ao retirar da matriz A a linha i e a coluna j.
  • Cofator C_{ij} é dado por
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
O sinal (-1)^{i+j} produz a malha de sinais:
\begin{pmatrix} + & - & +\\[2pt] - & + & -\\[2pt] + & - & + \end{pmatrix}.
  • Para um determinante 2\times2,
\det\begin{pmatrix} a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Vamos calcular todos os menores 2\times2 e, em seguida, os cofatores C_{ij} um a um.]

Passo 3

Calcular os cofatores da primeira linha ( i=1):
  • Para C_{11}: retirar linha 1 e coluna 1 deixa a matriz
\begin{pmatrix}3 & 0\\[2pt]3 & 5\end{pmatrix}.
Seu determinante é
M_{11}=3\cdot5-0\cdot3=15.
O cofactor é
C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=+15.
  • Para C_{12}: retirar linha 1 e coluna 2 deixa
\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]1 & 5\end{pmatrix}.
Seu determinante é
M_{12}=1\cdot5-0\cdot1=5.
O cofactor é
C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-5.
  • Para C_{13}: retirar linha 1 e coluna 3 deixa
\begin{pmatrix}1 & 3\\[2pt]1 & 3\end{pmatrix}.
Seu determinante é
M_{13}=1\cdot3-3\cdot1=0.
O cofactor é
C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=+0=0.]

Passo 4

Calcular os cofatores da segunda linha ( i=2):
  • Para C_{21}: retirar linha 2 e coluna 1 deixa
\begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt]3 & 5\end{pmatrix}.
Determinante
M_{21}=0\cdot5-0\cdot3=0.
Cofator
C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-0=0.
  • Para C_{22}: retirar linha 2 e coluna 2 deixa
\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]1 & 5\end{pmatrix}.
Determinante
M_{22}=1\cdot5-0\cdot1=5.
Cofator
C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=+5.
  • Para C_{23}: retirar linha 2 e coluna 3 deixa
\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]1 & 3\end{pmatrix}.
Determinante
M_{23}=1\cdot3-0\cdot1=3.
Cofator
C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-3.]

Passo 5

Calcular os cofatores da terceira linha ( i=3):
  • Para C_{31}: retirar linha 3 e coluna 1 deixa
\begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt]3 & 0\end{pmatrix}.
Determinante
M_{31}=0\cdot0-0\cdot3=0.
Cofator
C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=+0=0.
  • Para C_{32}: retirar linha 3 e coluna 2 deixa
\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Determinante
M_{32}=1\cdot0-0\cdot1=0.
Cofator
C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-0=0.
  • Para C_{33}: retirar linha 3 e coluna 3 deixa
\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]1 & 3\end{pmatrix}.
Determinante
M_{33}=1\cdot3-0\cdot1=3.
Cofator
C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=+3.]

Passo 6

Colocando todos os cofatores na matriz dos cofatores C=(C_{ij}):
C=\begin{pmatrix} 15 & -5 & 0\\[4pt] 0 & 5 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
Isso responde (a): os cofatores são os elementos dessa matriz.]

Passo 7

Calcular o determinante de A (parte (b)).
Duas observações úteis:
  • Regra rápida: uma matriz triangular (superior ou inferior) tem determinante igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Aqui A é triangular inferior, logo
\det(A)=1\cdot3\cdot5=15.
  • Verificação usando cofactores e a primeira linha:
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13} =1\cdot15+0\cdot(-5)+0\cdot0=15,
coincidindo com o produto diagonal. Portanto \det(A)=15.

Passo 8

Calcular a inversa A^{-1} (parte (c)). Use a fórmula clássica:
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a adjunta (ou adjugate), que é a transposta da matriz dos cofatores. Já temos C, então
\operatorname{adj}(A)=C^{\mathsf{T}}= \begin{pmatrix} 15 & 0 & 0\\[4pt] -5 & 5 & 0\\[4pt] 0 & -3 & 3 \end{pmatrix}.
Agora divide-se por \det(A)=15:
A^{-1}=\frac{1}{15}\begin{pmatrix} 15 & 0 & 0\\[4pt] -5 & 5 & 0\\[4pt] 0 & -3 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{15}{15} & 0 & 0\\[4pt] \frac{-5}{15} & \frac{5}{15} & 0\\[4pt] 0 & \frac{-3}{15} & \frac{3}{15} \end{pmatrix}.
Simplificando as frações:
A^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & 0\\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{5} \end{pmatrix}.]

Passo 9

(pequena verificação) Multiplicando mentalmente A por A^{-1} nota-se que:
  • a primeira linha de A é (1,0,0), que multiplicada por A^{-1} (1,0,0);
  • as demais linhas se cancelam graças às frações escolhidas, resultando na identidade I_3. Assim a inversa encontrada está consistente.

Resposta

(a) \begin{pmatrix} 15 & -5 & 0\\[4pt] 0 & 5 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
(b) \det(A)=15
(c) A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & 0\\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{5} \end{pmatrix}]

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