Seja a matriz
,
(a) Calcule os cofatores da matriz
.
(b) Calcule o determinante de
.
(c) a partir de
) e
), calcule
(a inversa de
).
(b) Calcule o determinante de
(c) a partir de
Passo 1
O enunciado fornece a matriz
e pede três coisas:
(a) calcular os cofatores da matriz ;
(b) calcular o determinante de ;
(c) a partir de (a) e (b), calcular a inversa .]
(a) calcular os cofatores da matriz
(b) calcular o determinante de
(c) a partir de (a) e (b), calcular a inversa
Passo 2
Primeiro, relembrar definições e fórmulas importantes (passo-a-passo e sem pular etapas).
- Menor (ou minor)
é o determinante da matriz que se obtém ao retirar da matriz a linha e a coluna . - Cofator
é dado por
O sinal
produz a malha de sinais:
- Para um determinante
,
Vamos calcular todos os menores
e, em seguida, os cofatores
um a um.]
Passo 3
Calcular os cofatores da primeira linha (
):
- Para
: retirar linha 1 e coluna 1 deixa a matriz
Seu determinante é
O cofactor é
- Para
: retirar linha 1 e coluna 2 deixa
Seu determinante é
O cofactor é
- Para
: retirar linha 1 e coluna 3 deixa
Seu determinante é
O cofactor é
Passo 4
Calcular os cofatores da segunda linha (
):
- Para
: retirar linha 2 e coluna 1 deixa
Determinante
Cofator
- Para
: retirar linha 2 e coluna 2 deixa
Determinante
Cofator
- Para
: retirar linha 2 e coluna 3 deixa
Determinante
Cofator
Passo 5
Calcular os cofatores da terceira linha (
):
- Para
: retirar linha 3 e coluna 1 deixa
Determinante
Cofator
- Para
: retirar linha 3 e coluna 2 deixa
Determinante
Cofator
- Para
: retirar linha 3 e coluna 3 deixa
Determinante
Cofator
Passo 6
Colocando todos os cofatores na matriz dos cofatores
:
Isso responde (a): os cofatores são os elementos dessa matriz.]
Passo 7
Calcular o determinante de
(parte (b)).
Duas observações úteis:
Duas observações úteis:
- Regra rápida: uma matriz triangular (superior ou inferior) tem determinante igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Aqui
é triangular inferior, logo
- Verificação usando cofactores e a primeira linha:
coincidindo com o produto diagonal. Portanto
.
Passo 8
Calcular a inversa
(parte (c)). Use a fórmula clássica:
onde
é a adjunta (ou adjugate), que é a transposta da matriz dos cofatores. Já temos
, então
Agora divide-se por
:
Simplificando as frações:
Passo 9
(pequena verificação) Multiplicando mentalmente
por
nota-se que:
- a primeira linha de
é , que multiplicada por dá ; - as demais linhas se cancelam graças às frações escolhidas, resultando na identidade
. Assim a inversa encontrada está consistente.
Resposta
(a)
(b)
(c)
]