Seja a equação 9 x^{2}+6 y^{2}+4 x y-5=0
(a) Dê a forma quadrática associada à equação (Escreva X^{T} A X )
(1,0 ptos.)
(b) Calcule os autovalores e autovetores ortonormais de A.
(1,0 ptos.)
(c) A partir de a ) e b ) substituindo X=P X^{\prime} com X^{\prime}=\left[\begin{array}{l}u \\\ v\end{array}\right], encontre a equação nas coordenadas u e v e identifique a cônica.
Passo 1
O enunciado dá a equação
9x^{2}+6y^{2}+4xy-5=0
e pede três coisas:
(a) escrever a forma quadrática associada em notação X^{T} A X (ou seja, encontrar a matriz A tal que X^{T}AX reproduza os termos quadráticos).
(b) calcular os autovalores e os autovetores ortonormais de A.
(c) usando a substituição X=P X' com X'=\begin{pmatrix}u\\[2pt]v\end{pmatrix}, obter a equação em u,v e identificar a cônica resultante.
Informações relevantes fornecidas:
A parte quadrática da equação é 9x^{2}+4xy+6y^{2} (peguei o termo 4xy do enunciado).
Há uma constante -5 que faz parte da equação completa.
A transformação pedida é X=P X' com X'=\begin{pmatrix}u\\[2pt]v\end{pmatrix}.]
Passo 2
(a) Como escrever a forma quadrática X^{T} A X.
Definição prática: para X=\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} e uma matriz simétrica A=\begin{pmatrix}a&b\\[2pt]b&c\end{pmatrix} tem-se
X^{T}AX = a x^{2} + 2b\,xy + c y^{2}.
Comparando com a parte quadrática dada \,9x^{2}+4xy+6y^{2}\,, vemos que a=9, 2b=4\Rightarrow b=2 e c=6. Logo
A = \begin{pmatrix}9 & 2\\[4pt]2 & 6\end{pmatrix}.
Explicação didática curta: o coeficiente do termo misto xy aparece como 2b na forma X^{T}AX, por isso dividimos por 2 para obter o elemento fora da diagonal de A.]
portanto são ortogonais como deve ocorrer para autovetores de matriz simétrica associada a autovalores distintos.
Agora normalizamos (transformar em vetores unitários). A norma de \begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix} é \sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}. A norma de \begin{pmatrix}1\\[2pt]-2\end{pmatrix} é também \sqrt{5}. Assim os autovetores ortonormais são
Comentário didático: para matrizes simétricas os autovetores associados a autovalores diferentes são automaticamente ortogonais; aí basta dividir pela norma para obter vetores ortonormais.]
Passo 5
(c) Diagonalização e mudança de coordenadas X=P X'.
Formamos a matriz ortogonal P cujas colunas são os autovetores unitários p_{1},p_{2}:
P = \begin{pmatrix}\dfrac{2}{\sqrt{5}} & \dfrac{1}{\sqrt{5}}\\[8pt] \dfrac{1}{\sqrt{5}} & \dfrac{-2}{\sqrt{5}}\end{pmatrix}.
Por construção P^{T}P=I (matriz ortogonal) e vale a diagonalização
A = P \,D\, P^{T}, \qquad\text{onde}\qquad D=\begin{pmatrix}10 & 0\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix}.
Agora faça a substituição X = P X' com X'=\begin{pmatrix}u\\[2pt]v\end{pmatrix}. Então
X^{T} A X = (P X')^{T} A (P X') = {X'}^{T} (P^{T} A P) X' = {X'}^{T} D X'.
Portanto a equação original 9x^{2}+6y^{2}+4xy-5=0 em coordenadas u,v fica
Dividindo ambos os lados por 5 obtemos a forma mais simples
2\,u^{2} + v^{2} = 1.]
Passo 6
Identificação da cônica.
A equação \,2u^{2}+v^{2}=1 tem coeficientes positivos nas componentes quadráticas e sem termos mistos nem termos lineares, com o lado direito positivo. Isso caracteriza uma elipse centrada na origem das coordenadas (u,v). Os eixos principais da elipse são precisamente as direções dos autovetores p_{1} e p_{2} (isto é, as colunas de P). Os semi-eixos têm comprimentos
a = \frac{1}{\sqrt{2}}\quad\text{(na direção do autovalor }10\text{)}, \qquad b = 1\quad\text{(na direção do autovalor }5\text{)}.çãçã
Resposta
(a) X^{T} A X com A=\begin{pmatrix}9 & 2\\[4pt]2 & 6\end{pmatrix}