Seja A uma matriz simétrica tridiagonal (isto é, A é simétrica e a_{i j}=0 sempre que |i-j|>1 ). Seja B a matriz formada a partir de A eliminando-se as duas primeiras linhas e colunas. Mostre que
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede um único resultado.
Informação: A é uma matriz simétrica tridiagonal. Ou seja, A=(a_{ij}) com a_{ij}=0 sempre que |i-j|>1, e a_{ij}=a_{ji}.
Informação: B é a matriz obtida a partir de A eliminando-se as duas primeiras linhas e as duas primeiras colunas. Assim, se A é n\times n, então B é (n-2)\times(n-2).
Notação: M_{11} denota a submatriz (menor) obtida de A ao eliminar a primeira linha e a primeira coluna; M_{12} denotará a submatriz obtida ao eliminar a primeira linha e a segunda coluna (essa notação será usada na expansão por cofatores).
Vamos usar a expansão de Laplace (expansão por cofatores) ao longo da primeira linha de A. Lembrando a regra geral: ao expandir \det(A) pela primeira linha temos
Aqui M_{11} é a submatriz (n-1)\times(n-1) ao eliminar a primeira linha e coluna, e M_{12} é a submatriz (n-1)\times(n-1) ao eliminar a primeira linha e a segunda coluna.
Passo 3
Agora precisamos calcular \det(M_{12}). Para isso, olhemos com atenção a estrutura de M_{12}. A submatriz M_{12} tem como linhas as linhas 2,3,\dots,n de A e como colunas as colunas 1,3,4,\dots,n de A (a coluna 2 foi removida).
A primeira coluna de M_{12} corresponde à coluna 1 de A restringida às linhas 2,3,\dots,n; seus entrados são
Ou seja, na primeira coluna de M_{12} apenas o primeiro elemento (o elemento na posição correspondente a i=2 em A) pode ser não nulo; os demais são zeros.
Passo 4
Como a primeira coluna de M_{12} tem zeros em todas as posições exceto na primeira, podemos calcular \det(M_{12}) expandindo por essa coluna. Expandindo ao longo da primeira coluna de M_{12} (que corresponde à linha 2 de A), obtemos
\det(M_{12}) = a_{21}\cdot (-1)^{1+1}\,\det\big(\text{matriz obtida de }M_{12}\text{ ao eliminar sua linha 1 e coluna 1}\big).
O sinal (-1)^{1+1}=+1. A matriz que sobra ao eliminar a primeira linha e a primeira coluna de M_{12} é exatamente a submatriz formada pelas linhas 3,4,\dots,n e colunas 3,4,\dots,n de A, isto é, é precisamente a matriz B definida no enunciado. Portanto
\det(M_{12}) = a_{21}\,\det(B).
Passo 5
Finalmente, usando a simetria de A (isto é, a_{21}=a_{12}), substituímos \det(M_{12}) na expressão obtida no Passo 2: