Ache todos os valores de \lambda para os quais o seguinte determinante será igual a 0 .
\left|\begin{array}{cc} 2-\lambda & 4 \\\\ 3 & 3-\lambda \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os valores de \lambda para os quais o determinante da matriz
\begin{pmatrix} 2-\lambda & 4\\[4pt] 3 & 3-\lambda \end{pmatrix}
é igual a \,0.
Informações dadas:
  • Entradas da matriz: a_{11}=2-\lambda, a_{12}=4, a_{21}=3, a_{22}=3-\lambda.
  • A incógnita é o escalar \lambda.
  • Objetivo: determinar todos os \lambda tais que o determinante da matriz seja \,0.]

Passo 2

Primeiro, lembrar a definição prática do determinante de uma matriz 2\times2.
Se a matriz é
\begin{pmatrix} a & b\\[4pt] c & d \end{pmatrix},
então o determinante é dado por
\det = ad - bc.
Explicando cada símbolo: a,b,c,d são os quatro elementos da matriz; ad é o produto do elemento superior esquerdo pelo inferior direito e bc é o produto do elemento superior direito pelo inferior esquerdo. O determinante é um número associado à matriz.]

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso, com a=2-\lambda, b=4, c=3, d=3-\lambda, temos
\det = (2-\lambda)(3-\lambda) - 4\cdot 3.
Vou calcular passo a passo a multiplicação (2-\lambda)(3-\lambda). Multiplicando termo a termo:
(2-\lambda)(3-\lambda) = 2\cdot 3 + 2\cdot(-\lambda) + (-\lambda)\cdot 3 + (-\lambda)\cdot(-\lambda).
Ou seja,
(2-\lambda)(3-\lambda) = 6 -2\lambda -3\lambda + \lambda^2 = \lambda^2 -5\lambda +6.
Agora subtrai-se 4\cdot 3=12:
\det = \lambda^2 -5\lambda +6 - 12 = \lambda^2 -5\lambda -6.

Passo 4

Queremos os \lambda tais que o determinante seja zero. Então montamos a equação
\lambda^2 -5\lambda -6 = 0.
Isto é uma equação quadrática em \lambda. Existem dois métodos comuns para resolver: fatoração direta (quando possível) ou a fórmula quadrática. Vou tentar fatorar primeiro, porque costuma ser mais rápido sem calculadora.
Procuramos dois números cujo produto seja -6 (termo constante) e cuja soma seja -5 (coeficiente de \lambda). Esses números são -6 e 1, pois
(-6)\cdot 1 = -6,\qquad (-6)+1 = -5.
Portanto a expressão fatorada é
\lambda^2 -5\lambda -6 = (\lambda -6)(\lambda +1).

Passo 5

Da fatoração (\lambda -6)(\lambda +1)=0 segue que um dos fatores deve ser zero. Assim:
\lambda -6 = 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda = 6,
ou
\lambda +1 = 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda = -1.
Vou checar rapidamente substituindo na expressão do determinante para ter certeza.
Para \lambda=6:
(2-6)(3-6)-4\cdot 3 = (-4)(-3)-12 = 12-12 = 0.
Para \lambda=-1:
(2-(-1))(3-(-1))-4\cdot 3 = (3)(4)-12 = 12-12 = 0.
Ambos funcionam, então são soluções válidas.

Passo 6

Conclusão e incentivo rápido: resolvemos montando o determinante, obtendo uma quadrática simples e fatorando para encontrar as raízes. Está feito — você já ganha pontos por entender o procedimento passo a passo. Se quiser, da próxima vez praticamos com matrizes 3\times3 ou com parâmetros em mais entradas (é a mesma ideia, só um pouco mais de conta).

Resposta

\lambda=6
\lambda=-1

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