Entradas da matriz: a_{11}=2-\lambda, a_{12}=4, a_{21}=3, a_{22}=3-\lambda.
A incógnita é o escalar \lambda.
Objetivo: determinar todos os \lambda tais que o determinante da matriz seja \,0.]
Passo 2
Primeiro, lembrar a definição prática do determinante de uma matriz 2\times2.
Se a matriz é
\begin{pmatrix} a & b\\[4pt] c & d \end{pmatrix},
então o determinante é dado por
\det = ad - bc.
Explicando cada símbolo: a,b,c,d são os quatro elementos da matriz; ad é o produto do elemento superior esquerdo pelo inferior direito e bc é o produto do elemento superior direito pelo inferior esquerdo. O determinante é um número associado à matriz.]
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso, com a=2-\lambda, b=4, c=3, d=3-\lambda, temos
\det = (2-\lambda)(3-\lambda) - 4\cdot 3.
Vou calcular passo a passo a multiplicação (2-\lambda)(3-\lambda). Multiplicando termo a termo:
Queremos os \lambda tais que o determinante seja zero. Então montamos a equação
\lambda^2 -5\lambda -6 = 0.
Isto é uma equação quadrática em \lambda. Existem dois métodos comuns para resolver: fatoração direta (quando possível) ou a fórmula quadrática. Vou tentar fatorar primeiro, porque costuma ser mais rápido sem calculadora.
Procuramos dois números cujo produto seja -6 (termo constante) e cuja soma seja -5 (coeficiente de \lambda). Esses números são -6 e 1, pois
Conclusão e incentivo rápido: resolvemos montando o determinante, obtendo uma quadrática simples e fatorando para encontrar as raízes. Está feito — você já ganha pontos por entender o procedimento passo a passo. Se quiser, da próxima vez praticamos com matrizes 3\times3 ou com parâmetros em mais entradas (é a mesma ideia, só um pouco mais de conta).