Calcule os seguintes determinantes:
\left|\begin{array}{rrr}4 & 3 & 0 \\\\ 3 & 1 & 2 \\\\ 5 & -1 & -4\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz 3\times3
\begin{pmatrix} 4 & 3 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 2\\[4pt] 5 & -1 & -4 \end{pmatrix}.
Ou seja, a única pergunta é: qual o valor numérico do determinante dessa matriz?]

Passo 2

Vou usar a regra de Sarrus (muito prática para matrizes 3\times3). Antes de aplicar, explico a regra de forma clara.
Se a matriz é
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
então a regra de Sarrus diz:
\det = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - \bigl(a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).
O que isso significa: multiplica-se os três produtos das “diagonais para a direita” e soma-se; depois multiplica-se os três produtos das “diagonais para a esquerda” e subtrai-se essa soma. É uma fórmula direta para 3\times3.]

Passo 3

Identifico os elementos da matriz (peguei esses números diretamente do enunciado):
a_{11}=4,\quad a_{12}=3,\quad a_{13}=0,
a_{21}=3,\quad a_{22}=1,\quad a_{23}=2,
a_{31}=5,\quad a_{32}=-1,\quad a_{33}=-4.

Passo 4

Calculo agora os três produtos das diagonais “para a direita” (os termos positivos na fórmula de Sarrus), fazendo as contas passo a passo:
a_{11}a_{22}a_{33}=4\cdot 1\cdot(-4)=4\cdot(-4)=-16.
a_{12}a_{23}a_{31}=3\cdot 2\cdot 5=3\cdot 10=30.
a_{13}a_{21}a_{32}=0\cdot 3\cdot(-1)=0.
Somando esses três:
\text{soma\_positiva}=-16+30+0=14.

Passo 5

Agora os três produtos das diagonais “para a esquerda” (os termos que serão subtraídos):
a_{13}a_{22}a_{31}=0\cdot 1\cdot 5=0.
a_{11}a_{23}a_{32}=4\cdot 2\cdot(-1)=4\cdot(-2)=-8.
a_{12}a_{21}a_{33}=3\cdot 3\cdot(-4)=9\cdot(-4)=-36.
Somando esses três:
\text{soma\_negativa}=0+(-8)+(-36)=-44.

Passo 6

Aplico a fórmula de Sarrus: subtrai-se a soma das diagonais para a esquerda da soma das diagonais para a direita:
\det = \text{soma\_positiva} - \text{soma\_negativa} = 14 - (-44) = 14 + 44 = 58.

Passo 7

Pra confirmar e te ensinar outra técnica (útil na prova quando alguma coluna/linha tem zeros), faço uma verificação rápida pela expansão por cofatores ao longo da primeira linha.
Expansão pela primeira linha dá:
\det = a_{11}\,C_{11} + a_{12}\,C_{12} + a_{13}\,C_{13},
onde C_{1j}=(-1)^{1+j}\det(M_{1j}) é o cofator e M_{1j} é o menor obtido eliminando linha 1 e coluna j.
Calculando:
  • Para a_{11}=4: o menor é \begin{pmatrix}1 & 2\\\\ -1 & -4\end{pmatrix}, seu determinante é 1\cdot(-4)-2\cdot(-1)=-4+2=-2. O cofator C_{11}=(-1)^{2}(-2)=-2. Então contribuição: 4\cdot(-2)=-8.
  • Para a_{12}=3: o menor é \begin{pmatrix}3 & 2\\\\ 5 & -4\end{pmatrix}, determinante 3\cdot(-4)-2\cdot5=-12-10=-22. O cofator C_{12}=(-1)^{3}(-22)=+22? Atenção ao sinal: C_{12}=(-1)^{1+2}\det(M_{12})=(-1)^{3}(-22)=-1\cdot(-22)=22. Então contribuição: 3\cdot 22=66.
  • Para a_{13}=0: contribuição zero.
Somando as contribuições: -8+66+0=58. Confere com Sarrus, ótimo — resultado consistente.

Passo 8

Resumo rápido e dica de prova: para 3\times3 use Sarrus se quiser rapidez; se houver uma linha ou coluna com zero(s), a expansão por cofatores pode simplificar. Sempre cuide dos sinais dos cofatores (-1)^{i+j}. Vale respirar fundo — tá saindo bem!

Resposta

58

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