Q9: Seja A uma matriz tal que A(-3,2,-1)=(1,2) e A(1,1,-3)=(1,1). Podemos afirmar que o seguinte vetor é uma solução de A \vec{v}=(1,4).
(A) \vec{v}=(-7,8,-9)
(B) \vec{v}=(-8,2,4)
(C) \vec{v}=(9,-1,-7)
(D) \vec{v}=(-11,4,3)
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz 2\times3 tal que
A(-3,2,-1) = (1,2),
A(1,1,-3) = (1,1),
e pede um vetor \vec v dentre as opções que satisfaça
A\vec v = (1,4).
O conteúdo aqui é combinar essas duas informações por meio de combinações lineares e usar o fato de que qualquer solução pode ser escrita como combinação dos vetores dados mais algo no núcleo de A.

Passo 2

Seja \vec x_1 = (-3,2,-1) e \vec x_2 = (1,1,-3). Qualquer vetor \vec v\in\mathbb R^3 pode ser escrito como
\vec v = a\,\vec x_1 + b\,\vec x_2 + \vec w,
onde \vec w\in\ker(A). Como A\vec w=0, obtemos
A\vec v = A\bigl(a\,\vec x_1 + b\,\vec x_2 + \vec w\bigr) = a\,A\vec x_1 + b\,A\vec x_2 + A\vec w = a\,(1,2) + b\,(1,1).

Passo 3

Para que A\vec v=(1,4), precisamos de
a\,(1,2) + b\,(1,1) = (1,4).
Isto gera o sistema para a e b:
\begin{cases} a + b = 1,\\\\ 2a + b = 4. \end{cases}

Passo 4

Subtraindo a primeira equação da segunda, vem
(2a+b) - (a+b) = 4 - 1 \quad\Longrightarrow\quad a = 3.
Logo b = 1 - a = 1 - 3 = -2.

Passo 5

Um solução particular é
\vec v_0 = 3\,\vec x_1 - 2\,\vec x_2 = 3(-3,2,-1) - 2(1,1,-3) = (-9,6,-3) + (-2,-2,6) = (-11,4,3).
E de fato
A\vec v_0 = 3\,(1,2) - 2\,(1,1) = (3-2,6-2) = (1,4).

Passo 6

Como qualquer outra solução difere de \vec v_0 por um vetor do núcleo de A, a opção que coincide exatamente com essa solução particular é
\vec v = (-11,4,3),
que é a alternativa (D).

Resposta

(D) \vec{v}=(-11,4,3)

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