Seja
uma matriz de tamanho
tal que
. Demonstre que
.
Passo 1
O enunciado nos dá explicitamente duas informações:
-
é uma matriz . -
.
O que ele pede: demonstrar que
.
Passo 2
Lembrete e explicação 1 — propriedade da transposta: para qualquer matriz quadrada
vale a identidade
Explicação didática (caso
, forma concreta): escrevendo a fórmula da determinante de uma
se trocarmos
por
(isto é, formarmos
), cada termo da soma fica exatamente igual a um termo da expressão original — a soma total não muda. Por isso, para
(e na verdade para todo
) tem-se
.
Passo 3
Lembrete e explicação 2 — multiplicação por escalar: se uma matriz quadrada
tem ordem
e se multiplicamos
por um escalar
, cada linha (ou cada coluna) é multiplicada por
. Como o determinante é multilinear em relação às linhas (ou colunas), multiplicar uma linha por
multiplica o determinante por
. Multiplicando as
linhas por
obtemos
No caso
isso dá, em particular,
Explicação mais concreta para
: pensar que
é a matriz cujas três linhas são as linhas de
multiplicadas por
; cada linha dá um fator
no determinante, totalizando
.
Passo 4
Agora aplicamos as propriedades aos dados do enunciado. Como
, temos primeiro
Pelo resultado do Passo 3 (com
),
Combinando as duas igualdades obtemos a relação desejada.