Seja \boldsymbol{A} uma matriz de tamanho 3 \times 3 tal que \boldsymbol{A}^{\boldsymbol{t}}=-\boldsymbol{A}. Demonstre que \operatorname{det}\left(\boldsymbol{A}^{\boldsymbol{t}}\right)= -\operatorname{det}(\boldsymbol{A}).

Passo 1

O enunciado nos dá explicitamente duas informações:
  • \boldsymbol{A} é uma matriz 3\times3.
  • \boldsymbol{A}^{\boldsymbol{t}} = -\boldsymbol{A}.
O que ele pede: demonstrar que \det\!\big(\boldsymbol{A}^{\boldsymbol{t}}\big) = -\det(\boldsymbol{A}).

Passo 2

Lembrete e explicação 1 — propriedade da transposta: para qualquer matriz quadrada \boldsymbol{M} vale a identidade
\det\!\big(\boldsymbol{M}^{\boldsymbol{t}}\big)=\det(\boldsymbol{M}).
Explicação didática (caso 3\times3, forma concreta): escrevendo a fórmula da determinante de uma 3\times3
\det(\boldsymbol{M}) = m_{11}m_{22}m_{33} + m_{12}m_{23}m_{31} + m_{13}m_{21}m_{32} - m_{13}m_{22}m_{31} - m_{11}m_{23}m_{32} - m_{12}m_{21}m_{33},
se trocarmos m_{ij} por m_{ji} (isto é, formarmos \boldsymbol{M}^{\boldsymbol{t}}), cada termo da soma fica exatamente igual a um termo da expressão original — a soma total não muda. Por isso, para 3\times3 (e na verdade para todo n\times n) tem-se \det(\boldsymbol{M}^{\boldsymbol{t}})=\det(\boldsymbol{M}).

Passo 3

Lembrete e explicação 2 — multiplicação por escalar: se uma matriz quadrada \boldsymbol{M} tem ordem n e se multiplicamos \boldsymbol{M} por um escalar c, cada linha (ou cada coluna) é multiplicada por c. Como o determinante é multilinear em relação às linhas (ou colunas), multiplicar uma linha por c multiplica o determinante por c. Multiplicando as n linhas por c obtemos
\det(c\boldsymbol{M}) = c^{n}\det(\boldsymbol{M}).
No caso n=3 isso dá, em particular,
\det(-\boldsymbol{M}) = (-1)^{3}\det(\boldsymbol{M}) = -\det(\boldsymbol{M}).
Explicação mais concreta para 3\times3: pensar que -\boldsymbol{M} é a matriz cujas três linhas são as linhas de \boldsymbol{M} multiplicadas por -1; cada linha dá um fator -1 no determinante, totalizando (-1)^3.

Passo 4

Agora aplicamos as propriedades aos dados do enunciado. Como \boldsymbol{A}^{\boldsymbol{t}} = -\boldsymbol{A}, temos primeiro
\det\!\big(\boldsymbol{A}^{\boldsymbol{t}}\big) = \det(-\boldsymbol{A}).
Pelo resultado do Passo 3 (com n=3),
\det(-\boldsymbol{A}) = (-1)^{3}\det(\boldsymbol{A}) = -\det(\boldsymbol{A}).
Combinando as duas igualdades obtemos a relação desejada.

Resposta

\det\!\big(\boldsymbol{A}^{\boldsymbol{t}}\big) = -\det(\boldsymbol{A})

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