Uma matriz
se chama idempotente se
. Quais são os possíveis valores de
se
for idempotente.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
(de ordem
) que é idempotente, isto é, satisfaz
A pergunta é: quais são os possíveis valores de
?
Informações relevantes: é quadrada e a função determinante
está definida para matrizes quadradas; não foram dadas outras restrições (por exemplo sobre o corpo dos coeficientes), então considere o caso habitual dos coeficientes em um corpo como
ou
.
Informações relevantes:
Passo 2
Lembrete básico (fórmula que vou usar): a determinante é multiplicativa, isto é, para quaisquer matrizes quadradas
e
da mesma ordem vale
Isso é uma propriedade fundamental da determinante. Intuição rápida: o determinante mede o fator de escala do volume pela transformação linear; aplicar duas transformações corresponde a multiplicar os fatores de escala.
Passo 3
Aplique a determinante à igualdade dada
. Usando a propriedade multiplicativa, obtemos
Mas pela multiplicatividade,
Portanto a determinante satisfaz a equação escalar
Passo 4
Resolva a equação escalar para
:
Num corpo (por exemplo
ou
), o produto de dois elementos é zero só se um dos fatores for zero. Assim
Logo
só pode assumir os valores
ou
.
Passo 5
Interpretações e exemplos pedagógicos:
- Se
, então é invertível. Da equação , multiplicando à esquerda (ou à direita) por obtém-se . Assim o único idempotente invertível é a matriz identidade , cuja determinante é . - Se
, então não é invertível. Existem muitos idempotentes não triviais com determinante zero, por exemplo projeções. Exemplo concreto em ordem :
que verifica
e
.
- Exemplos extremos: a matriz nula
é idempotente ( ) e tem ; a identidade é idempotente ( ) e tem .]