Uma matriz A se chama idempotente se A^{\mathbf{2}}=A. Quais são os possíveis valores de \operatorname{det}(A) se A for idempotente.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A (de ordem n\times n) que é idempotente, isto é, satisfaz
A^{2}=A.
A pergunta é: quais são os possíveis valores de \det(A)?
Informações relevantes: A é quadrada e a função determinante \det(\cdot) está definida para matrizes quadradas; não foram dadas outras restrições (por exemplo sobre o corpo dos coeficientes), então considere o caso habitual dos coeficientes em um corpo como \mathbb{R} ou \mathbb{C}.

Passo 2

Lembrete básico (fórmula que vou usar): a determinante é multiplicativa, isto é, para quaisquer matrizes quadradas X e Y da mesma ordem vale
\det(XY)=\det(X)\det(Y).
Isso é uma propriedade fundamental da determinante. Intuição rápida: o determinante mede o fator de escala do volume pela transformação linear; aplicar duas transformações corresponde a multiplicar os fatores de escala.

Passo 3

Aplique a determinante à igualdade dada A^{2}=A. Usando a propriedade multiplicativa, obtemos
\det(A^{2})=\det(A).
Mas pela multiplicatividade,
\det(A^{2})=\det(A\cdot A)=\det(A)\det(A)=\bigl(\det(A)\bigr)^{2}.
Portanto a determinante satisfaz a equação escalar
\bigl(\det(A)\bigr)^{2}=\det(A).

Passo 4

Resolva a equação escalar para x=\det(A):
x^{2}=x \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x-1)=0.
Num corpo (por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}), o produto de dois elementos é zero só se um dos fatores for zero. Assim
x=0 \quad\text{ou}\quad x=1.
Logo \det(A) só pode assumir os valores 0 ou 1.

Passo 5

Interpretações e exemplos pedagógicos:
  • Se \det(A)=1, então A é invertível. Da equação A^{2}=A, multiplicando à esquerda (ou à direita) por A^{-1} obtém-se A=I. Assim o único idempotente invertível é a matriz identidade I, cuja determinante é 1.
  • Se \det(A)=0, então A não é invertível. Existem muitos idempotentes não triviais com determinante zero, por exemplo projeções. Exemplo concreto em ordem 2:
P=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
que verifica P^{2}=P e \det(P)=0.
  • Exemplos extremos: a matriz nula 0 é idempotente ( 0^{2}=0) e tem \det(0)=0; a identidade I é idempotente ( I^{2}=I) e tem \det(I)=1.]

Resposta

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