Seja
uma matriz
. Demonstre que os seguintes enunciados são equivalentes:
(a)
. (b) A é não singular.
(c) Para cada
, o sistema
tem uma única solução.
(a)
(c) Para cada
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
quadrada de tamanho
e pede para mostrar que três afirmações são equivalentes. Vou escrever explicitamente cada uma delas (isto é o que o problema pede):
-
(a)
.
Aquié o núcleo (ou nullspace) de , isto é, . -
(b)
é não singular.
Isto significa queé invertível — existe uma matriz tal que . -
(c) Para cada
, o sistema tem uma única solução .
O objetivo é provar que as três declarações (a), (b) e (c) são equivalentes (qualquer uma implica as outras).
Passo 2
Vou lembrar definições e fatos que usarei (sem provar teoremas muito profundos, só fatos básicos e intuitivos):
-
O núcleo
contém exatamente os vetores que são enviados para pela transformação linear associada a . Se dizemos que o operador é injetivo (sem colisões): vetores diferentes têm imagens diferentes. -
Colunas de
: escrevo , onde cada é a -ésima coluna. Uma combinação linear pode ser escrita em forma matricial como , onde . -
Um conjunto de
vetores de é linearmente independente se e só se forma uma base de (portanto gera todo ). Em particular, se as colunas de são independentes, então para qualquer existe tal que (pois as colunas geram ).
Esses fatos são os que vou usar para ligar núcleo trivial, independência das colunas, invertibilidade e existência/unicidade de soluções.
Passo 3
Provar que (b) implica (a): se
é não singular então
.
- Suponha que
seja invertível, isto é, existe com . - Tome
. Então . Multiplicando à esquerda por obtemos
- Assim o único vetor do núcleo é
, ou seja, .
Comentário didático curto: se
tem inversa, não há como dois vetores diferentes terem a mesma imagem — aplicar a inversa separa-os — por isso o núcleo é trivial.
Passo 4
Provar que (a) implica (b): se
então
é não singular.
- Escrevo
com colunas . - Suponha que haja uma combinação linear
Em forma matricial isto é
, onde
. Pelo hipótese (a), a única solução desse sistema homogêneo é
. Logo as colunas
são linearmente independentes.
-
Agora, um fato básico de álgebra linear: em
, qualquer conjunto de vetores linearmente independentes é uma base, portanto gera todo . Assim as colunas de geram . -
Sendo as colunas geradoras, para cada vetor da base canônica
existe um vetor tal que . Colocando esses vetores como colunas de uma matriz obtemos
- Portanto
é uma inversa à direita de . Mas em matrizes quadradas, ter inversa à direita já garante inversa à esquerda e de fato . Logo é invertível (não singular).
Comentário didático curto: núcleo trivial ⇒ colunas independentes ⇒ colunas formam base ⇒ consegue-se montar uma matriz
com
⇒
tem inversa.
Passo 5
Provar que (b) implica (c): se
é não singular então, para todo
, o sistema
tem única solução.
- Suponha
invertível. Dada qualquer , considere . Então
ou seja, existe solução. Para ver unicidade, suponha que
e
sejam duas soluções:
e
. Subtraindo,
Multiplicando por
obtemos
, logo
. Assim a solução é única.
Comentário didático curto: inversa dá solução explícita
, e a inversa também previne duas soluções diferentes.
Passo 6
Provar que (c) implica (a) (e concluir (c)⇒(b) via passo 4): se para todo
o sistema tem uma única solução, então
.
-
Tomando
na hipótese (c), o sistema homogêneo tem exatamente uma solução. Logo a única solução é . Portanto . -
Em particular, por já termos provado que (a) implica (b) (no passo 4), e agora que (c) implica (a), podemos concluir que (c) implica (b).
Comentário didático curto: a condição “para todo
existe exatamente uma solução” já força que para
também haja apenas a solução trivial — núcleo trivial.
Passo 7
Conclusão final: juntei as implicações já provadas:
- (b) ⇒ (a) pelo passo 3.
- (a) ⇒ (b) pelo passo 4.
- (b) ⇒ (c) pelo passo 5.
- (c) ⇒ (a) pelo passo 6.
Com isso temos (a) ⇔ (b) e (b) ⇔ (c), portanto (a), (b) e (c) são todas equivalentes.
Resposta
(a)
(b)
(c)