Seja \left\{\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \ldots, \mathbf{x}_{n}\right\} um conjunto de cobertura para um espaço vetorial V.
(b) Se eliminarmos um dos vetores, por exemplo, \mathbf{x}_{k}, do conjunto, ainda teremos um conjunto de cobertura? Explique.
Passo 1
O enunciado dá um conjunto \{\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2},\ldots,\mathbf{x}_{n}\} que é um conjunto de cobertura para um espaço vetorial V. Ou seja, a informação que temos é:
Se eliminarmos um dos vetores, por exemplo \mathbf{x}_{k}, o conjunto restante \{\mathbf{x}_{1},\ldots,\mathbf{x}_{k-1},\mathbf{x}_{k+1},\ldots,\mathbf{x}_{n}\}
ainda é um conjunto de cobertura (isto é, ainda gera V)? Explique.
Passo 2
Primeiro, vamos fixar o que significa “conjunto de cobertura” de forma precisa (é importante entender isso para a prova).
Definição de span (gerado): para um conjunto S=\{\mathbf{v}_i\} de vetores, define-se\mathrm{span}(S)=\left\{\sum_{i} \alpha_i \mathbf{v}_i \;\Big|\; \alpha_i \in \mathbb{F}\right\},onde \mathbb{F} é o corpo (por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}).
Dizer que S é um conjunto de cobertura de V significa exatamente\mathrm{span}(S)=V.
Explicando na prática: todo vetor de V pode ser escrito como combinação linear dos vetores de S.
Passo 3
Vamos traduzir a pergunta em termos de spans. Defina
A questão é verificar se \mathrm{span}(S')=V ou não. Note que sempre vale
\mathrm{span}(S')\subseteq\mathrm{span}(S)=V,
pois S'\subseteq S. O ponto delicado é se essa inclusão é estrita ou igualdade.
Passo 4
Caso em que a remoção preserva a cobertura — prova direta.
Suponha que \mathbf{x}_k seja uma combinação linear dos outros vetores, isto é,\mathbf{x}_k=\sum_{i\ne k} c_i\mathbf{x}_ipara certos escalares c_i.
Pegue qualquer vetor \mathbf{v}\in\mathrm{span}(S). Então existe uma escrita\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{n} a_i\mathbf{x}_i.Separe o termo com i=k:\mathbf{v}=a_k\mathbf{x}_k+\sum_{i\ne k} a_i\mathbf{x}_i.Substituindo a expressão de \mathbf{x}_k em função dos outros:\mathbf{v}=a_k\left(\sum_{i\ne k} c_i\mathbf{x}_i\right)+\sum_{i\ne k} a_i\mathbf{x}_i =\sum_{i\ne k} (a_i+a_k c_i)\mathbf{x}_i.Assim \mathbf{v} é combinação linear somente dos vetores em S', ou seja \mathbf{v}\in\mathrm{span}(S').
Conclusão: \mathrm{span}(S)\subseteq\mathrm{span}(S'). Juntando com a inclusão óbvia em sentido contrário, obtemos \mathrm{span}(S')=\mathrm{span}(S)=V.
Interpretação: se \mathbf{x}_k é “redundante” (já está gerado pelos outros), então podemos eliminá-lo sem perder cobertura.
Passo 5
Caso em que a remoção não preserva a cobertura — argumento por contradição.
Suponha que \mathbf{x}_k NÃO seja combinação linear dos demais, ou seja\mathbf{x}_k\notin\mathrm{span}(S').
Se, por absurdo, \mathrm{span}(S')=V, então em particular \mathbf{x}_k\in V=\mathrm{span}(S'), contradizendo a suposição. Logo \mathrm{span}(S')\ne V.
Interpretação: se \mathbf{x}_k for essencial (não está no span dos demais), então ao retirá-lo perde-se a capacidade de gerar todo V.
Passo 6
Conexão com dependência linear e bases (para a prova, é útil lembrar).
Um conjunto S é linearmente dependente se existe algum j tal que \mathbf{x}_j é combinação linear dos outros. Nesse caso esse \mathbf{x}_j pode ser retirado sem perder cobertura.
Um conjunto de cobertura que é também linearmente independente é uma base; por definição de base nenhum vetor é combinação dos demais, então retirar qualquer vetor de uma base torna o conjunto incapaz de gerar V.
Portanto: remoção preserva a cobertura exatamente quando o vetor removido é dependente dos restantes; caso contrário, não preserva.
Passo 7
Exemplos concretos (útil para a prova e para fixar a ideia).
Exemplo onde a remoção NÃO prejudica: em \mathbb{R}^2,S=\{(1,0),(0,1),(1,1)\}.Aqui (1,1)=(1,0)+(0,1). Logo se removermos (1,1) o conjunto restante ainda gera \mathbb{R}^2.
Exemplo onde a remoção prejudica: em \mathbb{R}^2,S=\{(1,0),(0,1)\}.Isso é uma base; removendo (0,1) ficamos com \{(1,0)\} que não gera \mathbb{R}^2.
Dica prática para a prova: para testar se se pode remover \mathbf{x}_k resolva o sistema de coeficientes \mathbf{x}_k=\sum_{i\ne k} c_i\mathbf{x}_i. Se existir solução, pode remover; se não existir, não pode.
Resposta
Nem sempre. A retirada de \mathbf{x}_k preserva a cobertura se, e somente se, \mathbf{x}_k\in\mathrm{span}\big(\{\mathbf{x}_i:\,i\ne k\}\big); caso contrário a remoção faz o conjunto deixar de gerar V.