Quais dos conjuntos que se seguem são coberturas para P_{3} ? Justifique suas respostas.
(d) \left\{x+2, x^{2}-1\right\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S=\{x+2,\;x^{2}-1\}
e pergunta se S é uma cobertura (isto é, um conjunto gerador ou conjunto cujo span é todo o espaço) para P_{3}. As informações relevantes que temos são:
  • O conjunto candidato tem apenas dois polinómios, x+2 e x^{2}-1.
  • O espaço alvo é P_{3}, o espaço dos polinómios de grau até 3 (ou seja, polinómios da forma \alpha_{3}x^{3}+\alpha_{2}x^{2}+\alpha_{1}x+\alpha_{0} com coeficientes no corpo considerado, tipicamente \mathbb{R} ou \mathbb{Q}).
  • A pergunta é: S gera todo P_{3}? (ou seja, todo p\in P_{3} pode ser escrito como combinação linear de elementos de S?)

Passo 2

Vou lembrar o que significa “cobertura” (conjunto gerador) e uma propriedade útil sobre dimensões.
  • Definição: um subconjunto S de um espaço vetorial V é uma cobertura (gera V) se todo vetor de V pode ser escrito como combinação linear finita de vetores de S. Ou seja, para todo v\in V existem escalares c_{1},\dots,c_{k} e s_{1},\dots,s_{k}\in S tais que v=c_{1}s_{1}+\cdots+c_{k}s_{k}.
  • Fato sobre dimensão: se V tem dimensão n, então qualquer conjunto gerador de V tem pelo menos n vetores. Em particular, não se pode gerar um espaço de dimensão n com menos de n vetores.
  • No caso de P_{3}, uma base usual é \{1,x,x^{2},x^{3}\}, logo
\dim P_{3}=4.

Passo 3

Aplicando o fato de dimensão ao nosso caso:
  • P_{3} tem dimensão 4.
  • O conjunto S tem apenas 2 vetores.
    Pelo argumento de dimensão, um conjunto com apenas 2 vetores não pode gerar um espaço de dimensão 4. Portanto, já se conclui que S não é cobertura de P_{3}.

Passo 4

Para reforçar a intuição e ensinar um método direto que funciona também em provas, vou mostrar explicitamente um polinómio de P_{3} que não pode ser escrito como combinação linear de elementos de S.
  • Considere o polinómio q(x)=x^{3}\in P_{3}.
  • Se q estivesse no span de S, existiriam escalares a e b tais que
a(x+2)+b(x^{2}-1)=x^{3}.
Vou desenvolver o lado esquerdo e comparar coeficientes.
  • Calculando a combinação:
a(x+2)+b(x^{2}-1)=b x^{2}+a x+(2a-b).
Observe que o termo em x^{3} do lado esquerdo é 0 (não aparece), enquanto o termo em x^{3} do lado direito é 1.
  • Igualando coeficientes para que as duas expressões sejam idênticas como polinómios, o coeficiente de x^{3} obriga
0=1,
que é impossível. Logo não existem a,b que satisfaçam a igualdade, e x^{3} não está no span de S.

Passo 5

Interpretação prática para a prova (dica): ao ver um espaço de dimensão 4 e um conjunto com menos de 4 vetores, pode imediatamente afirmar que não é gerador. Alternativamente, sempre que quiser mostrar que um conjunto não gera, basta encontrar um vetor do espaço (aqui, um polinómio com termo x^{3} não nulo) que não possa ser obtido por combinação linear dos vetores dados — normalmente comparando coeficientes.

Resposta

Não — \{x+2,x^{2}-1\} não é cobertura de P_{3}.

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