Quais dos conjuntos que se seguem são coberturas para
? Justifique suas respostas.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pergunta se
é uma cobertura (isto é, um conjunto gerador ou conjunto cujo span é todo o espaço) para
. As informações relevantes que temos são:
- O conjunto candidato tem apenas dois polinómios,
e . - O espaço alvo é
, o espaço dos polinómios de grau até (ou seja, polinómios da forma com coeficientes no corpo considerado, tipicamente ou ). - A pergunta é:
gera todo ? (ou seja, todo pode ser escrito como combinação linear de elementos de ?)
Passo 2
Vou lembrar o que significa “cobertura” (conjunto gerador) e uma propriedade útil sobre dimensões.
- Definição: um subconjunto
de um espaço vetorial é uma cobertura (gera ) se todo vetor de pode ser escrito como combinação linear finita de vetores de . Ou seja, para todo existem escalares e tais que . - Fato sobre dimensão: se
tem dimensão , então qualquer conjunto gerador de tem pelo menos vetores. Em particular, não se pode gerar um espaço de dimensão com menos de vetores. - No caso de
, uma base usual é , logo
Passo 3
Aplicando o fato de dimensão ao nosso caso:
-
tem dimensão . - O conjunto
tem apenas vetores.
Pelo argumento de dimensão, um conjunto com apenasvetores não pode gerar um espaço de dimensão . Portanto, já se conclui que não é cobertura de .
Passo 4
Para reforçar a intuição e ensinar um método direto que funciona também em provas, vou mostrar explicitamente um polinómio de
que não pode ser escrito como combinação linear de elementos de
.
- Considere o polinómio
. - Se
estivesse no span de , existiriam escalares e tais que
Vou desenvolver o lado esquerdo e comparar coeficientes.
- Calculando a combinação:
Observe que o termo em
do lado esquerdo é
(não aparece), enquanto o termo em
do lado direito é
.
- Igualando coeficientes para que as duas expressões sejam idênticas como polinómios, o coeficiente de
obriga
que é impossível. Logo não existem
que satisfaçam a igualdade, e
não está no span de
.
Passo 5
Interpretação prática para a prova (dica): ao ver um espaço de dimensão
e um conjunto com menos de
vetores, pode imediatamente afirmar que não é gerador. Alternativamente, sempre que quiser mostrar que um conjunto não gera, basta encontrar um vetor do espaço (aqui, um polinómio com termo
não nulo) que não possa ser obtido por combinação linear dos vetores dados — normalmente comparando coeficientes.
Resposta
Não —
não é cobertura de
.