Seja A uma matriz 2 \times 2. Dizemos que uma reta pela origem de R^{2} é invariante por A se A \mathrm{x} estiver nessa reta sempre que x estiver. Em cada parte, obtenha as equações de todas as retas de R^{2} que são invariantes pela matriz dada.
A=\left[\begin{array}{rr}4 & -1 \\\\ 2 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede as equações de todas as retas de \mathbb{R}^2 que passam pela origem e são invariantes pela matriz
A = \begin{pmatrix}4 & -1 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix}.
Uma reta L pela origem é invari­ante se, sempre que \mathbf{x}\in L, então A\mathbf{x}\in L.

Passo 2

Uma reta L pela origem pode ser descrita por um vetor direcional \mathbf{v}\neq\mathbf{0}, isto é,
L = \{t\,\mathbf{v} : t\in\mathbb{R}\}.
Para L ser invari­ante, é preciso que A\mathbf{v} seja múltiplo de \mathbf{v}, isto é, exista \lambda\in\mathbb{R} tal que
A\mathbf{v} = \lambda\,\mathbf{v}.
Logo, \mathbf{v} deve ser um autovetor de A e \lambda o respectivo autovalor.

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}4-\lambda & -1 \\[6pt] 2 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (4-\lambda)(1-\lambda) - (-1)\cdot2 = \lambda^2 -5\lambda +6.
Resolvendo
\lambda^2 -5\lambda +6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 2 \quad\text{ou}\quad \lambda = 3.]

Passo 4

Para \lambda=2,
(A - 2I)\mathbf{v} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}4-2 & -1 \\\\ 2 & 1-2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -1 \\\\ 2 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \mathbf{0}
implica 2x - y = 0, ou seja y = 2x. Portanto a reta é
y = 2x.
Para \lambda=3,
(A - 3I)\mathbf{v} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ 2 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \mathbf{0}
implica x - y = 0, ou seja y = x. Portanto a reta é
y = x.

Resposta

As retas invariantes por A são
y = x
e
y = 2x.

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