Seja A uma matriz 2 \times 2. Dizemos que uma reta pela origem de R^{2} é invariante por A se A \mathrm{x} estiver nessa reta sempre que x estiver. Em cada parte, obtenha as equações de todas as retas de R^{2} que são invariantes pela matriz dada. A=\left[\begin{array}{rr}4 & -1 \\\\ 2 & 1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede as equações de todas as retas de \mathbb{R}^2 que passam pela origem e são invariantes pela matriz
A = \begin{pmatrix}4 & -1 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix}.
Uma reta L pela origem é invariante se, sempre que \mathbf{x}\in L, então A\mathbf{x}\in L.
Passo 2
Uma reta L pela origem pode ser descrita por um vetor direcional \mathbf{v}\neq\mathbf{0}, isto é,
L = \{t\,\mathbf{v} : t\in\mathbb{R}\}.
Para L ser invariante, é preciso que A\mathbf{v} seja múltiplo de \mathbf{v}, isto é, exista \lambda\in\mathbb{R} tal que
A\mathbf{v} = \lambda\,\mathbf{v}.
Logo, \mathbf{v} deve ser um autovetor de A e \lambda o respectivo autovalor.