Seja A uma matriz 2 \times 2. Dizemos que uma reta pela origem de R^{2} é invariante por A se A \mathrm{x} estiver nessa reta sempre que x estiver. Em cada parte, obtenha as equações de todas as retas de R^{2} que são invariantes pela matriz dada.
A=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\\\ 0 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede todas as retas de \mathbb{R}^2 que passam pela origem e são invariantes por
A = \begin{pmatrix}2 & 3\\[6pt]0 & 2\end{pmatrix},
isto é, toda reta L tal que A\,\mathbf{x}\in L sempre que \mathbf{x}\in L. Vamos parametrizar cada reta pela sua inclinação.]

Passo 2

Qualquer reta não‐vertical por origem pode ser escrita como
L_m = \{(x,y)\mid y = m\,x\}
para algum m\in\mathbb{R}. Um vetor genérico em L_m é \mathbf{x}=(x,mx). Calculamos
A\,\mathbf{x} = \begin{pmatrix}2 & 3\\[3pt]0 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[3pt]m\,x\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}(2+3m)\,x\\[3pt]2m\,x\end{pmatrix}.]

Passo 3

Para que A\,\mathbf{x} também pertença a L_m, deve valer
\frac{\text{segunda componente}}{\text{primeira componente}} =\frac{2m\,x}{(2+3m)\,x} \;=\;m.
Assim,
\frac{2m}{2+3m}=m.
Multiplicando ambos os lados por 2+3m obtemos
2m = m(2+3m) \;\Longrightarrow\; 2m = 2m + 3m^2 \;\Longrightarrow\; 3m^2=0 \;\Longrightarrow\; m=0.

Resposta

A única reta (não‐trivial) de \mathbb{R}^2 invariantes por A é
y = 0.

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