Em cada parte, encontre os autovalores por inspeção.
\left[\begin{array}{rrrr}-\frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -\frac{1}{3} & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, por inspeção, os autovalores de uma matriz 4\times4. O conteúdo é Autovalores de Matrizes e, para resolver, vamos usar a propriedade de que, em matrizes diagonais, os autovalores são as próprias entradas da diagonal principal.

Passo 2

Seja D uma matriz diagonal com entradas d_{11},d_{22},\dots,d_{nn}. Para cada vetor canônico e_i vale
D\,e_i = d_{ii}\,e_i,
logo cada d_{ii} é um autovalor de D.

Passo 3

A matriz dada é
\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{3} & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & -\tfrac{1}{3} & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix},
que é diagonal. Seus autovalores são, portanto, as entradas da diagonal principal:
-\tfrac{1}{3}, -\tfrac{1}{3}, 1 e \tfrac{1}{2}.

Resposta

-\tfrac{1}{3} (multiplicidade 2), 1, \tfrac{1}{2}

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