Encontre uma parametrização para a seguinte superfície S :
\sigma: D \longmapsto \mathcal{S} \text { onde } \sigma(u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \in \mathcal{S}, \forall(u, v) \in D cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Definir o conjunto D e a definicão de \sigma(u, v).

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização \sigma\colon D\to\mathcal S do cone definido por \,z=\sqrt{x^2+y^2}. Vamos usar coordenadas polares no plano xy para resolver.

Passo 2

Em coordenadas polares tomamos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta.
Assim qualquer ponto (x,y) no plano é determinado pelos parâmetros (r,\theta).

Passo 3

No cone temos
z = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{(r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2} = r.
Logo a parametrização natural é
\sigma(r,\theta) = \bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r\bigr).

Passo 4

Para cobrir toda a superfície lateral do cone (incluindo o vértice em r=0) definimos o domínio
D = \{(r,\theta)\mid r\ge0,\;0\le\theta\le2\pi\}.

Resposta

\sigma(r,\theta) = (r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r),
D = \{(r,\theta)\mid r\ge0,\;0\le\theta\le2\pi\}.

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