O sistema A \mathbf{x}=\mathbf{0} tem uma solução não trivial? A é não singular? Explique suas respostas.
Passo 1
O enunciado fornece a relação entre as colunas da matriz A\in\mathbb{R}^{3\times3}:
\mathbf{a}_{1}=3\mathbf{a}_{2}-2\mathbf{a}_{3}.
As perguntas são:
O sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} tem solução não trivial?
A matriz A é não singular (isto é, invertível)?
Listei explicitamente a informação dada e as duas perguntas que preciso responder.
Passo 2
Entendendo o que significa a relação dada. A relação entre colunas pode ser reescrita como uma combinação linear que dá o vetor nulo. Subtraindo o lado direito, obtemos:
Portanto existe um vetor \mathbf{x}\neq\mathbf{0} que satisfaz A\mathbf{x}=\mathbf{0}.
Didática: o sistema homogêneo sempre tem a solução trivial \mathbf{x}=\mathbf{0}. Quando as colunas de A são linearmente dependentes, existe além da solução trivial pelo menos uma solução não trivial (como acabamos de construir).
Passo 4
Conseqüência para singularidade. Definição: uma matriz quadrada é não singular (invertível) exatamente quando suas colunas são linearmente independentes, equivalendo a \det(A)\neq0 e \operatorname{rank}(A)=3 no caso 3\times3.
Como já verificamos que as colunas são linearmente dependentes (há uma combinação não trivial que as anula), segue que \operatorname{rank}(A)\le 2. Logo \det(A)=0 e A não é invertível — ou seja, A é singular.
Didática: a relação entre dependência de colunas, posto (rank), determinante e inversibilidade é fundamental:
colunas dependentes \Rightarrow posto menor que 3\Rightarrow determinante zero \Rightarrow matriz singular.
Passo 5
Resumo lógico das implicações (passo-a-passo que você pode usar numa prova):
Dada \mathbf{a}_{1}=3\mathbf{a}_{2}-2\mathbf{a}_{3}, escreva como \mathbf{a}_{1}-3\mathbf{a}_{2}+2\mathbf{a}_{3}=\mathbf{0}.
Construa \mathbf{x}=(1,-3,2)^T. Então A\mathbf{x}=\mathbf{0} com \mathbf{x}\neq\mathbf{0}; logo há solução não trivial.
Colunas linearmente dependentes \Rightarrow\operatorname{rank}(A)\le2\Rightarrow\det(A)=0\RightarrowA é singular (não invertível).
Resposta
Sim. O sistema A\mathbf{x}=\mathbf{0} tem solução não trivial (por exemplo \mathbf{x}=\begin{pmatrix}1\\\ -3\\\ 2\end{pmatrix}).
Não. A é singular (não é não singular), pois suas colunas são linearmente dependentes.