Seja A uma matriz 3 \times 3 e suponha que
\mathbf{a}_{1}=3 \mathbf{a}_{2}-2 \mathbf{a}_{3}
O sistema A \mathbf{x}=\mathbf{0} tem uma solução não trivial? A é não singular? Explique suas respostas.

Passo 1

O enunciado fornece a relação entre as colunas da matriz A\in\mathbb{R}^{3\times3}:
\mathbf{a}_{1}=3\mathbf{a}_{2}-2\mathbf{a}_{3}.
As perguntas são:
  • O sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} tem solução não trivial?
  • A matriz A é não singular (isto é, invertível)?
Listei explicitamente a informação dada e as duas perguntas que preciso responder.

Passo 2

Entendendo o que significa a relação dada. A relação entre colunas pode ser reescrita como uma combinação linear que dá o vetor nulo. Subtraindo o lado direito, obtemos:
\mathbf{a}_{1}-3\mathbf{a}_{2}+2\mathbf{a}_{3}=\mathbf{0}.
Isto é uma relação linear não trivial entre as colunas, porque os coeficientes 1,-3,2 não são todos zero.
Explicação didática: vetores \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3 são colunas de A. Dizer que existe uma combinação
c_1\mathbf{a}_1+c_2\mathbf{a}_2+c_3\mathbf{a}_3=\mathbf{0}
com (c_1,c_2,c_3)\neq(0,0,0) significa que as colunas são linearmente dependentes. Aqui temos explicitamente (c_1,c_2,c_3)=(1,-3,2).

Passo 3

Conexão com o sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0}. Se \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)^T, então
A\mathbf{x}=x_1\mathbf{a}_1+x_2\mathbf{a}_2+x_3\mathbf{a}_3.
Tomando \mathbf{x}=\begin{pmatrix}1\\\ -3\\\ 2\end{pmatrix} (o vetor dos coeficientes que acabamos de achar), obtemos
A\begin{pmatrix}1\\\ -3\\\ 2\end{pmatrix} =1\mathbf{a}_1-3\mathbf{a}_2+2\mathbf{a}_3 =\mathbf{0}.
Portanto existe um vetor \mathbf{x}\neq\mathbf{0} que satisfaz A\mathbf{x}=\mathbf{0}.
Didática: o sistema homogêneo sempre tem a solução trivial \mathbf{x}=\mathbf{0}. Quando as colunas de A são linearmente dependentes, existe além da solução trivial pelo menos uma solução não trivial (como acabamos de construir).

Passo 4

Conseqüência para singularidade. Definição: uma matriz quadrada é não singular (invertível) exatamente quando suas colunas são linearmente independentes, equivalendo a \det(A)\neq0 e \operatorname{rank}(A)=3 no caso 3\times3.
Como já verificamos que as colunas são linearmente dependentes (há uma combinação não trivial que as anula), segue que
\operatorname{rank}(A)\le 2. Logo \det(A)=0 e A não é invertível — ou seja, A é singular.
Didática: a relação entre dependência de colunas, posto (rank), determinante e inversibilidade é fundamental:
  • colunas dependentes \Rightarrow posto menor que 3 \Rightarrow determinante zero \Rightarrow matriz singular.

Passo 5

Resumo lógico das implicações (passo-a-passo que você pode usar numa prova):
  1. Dada \mathbf{a}_{1}=3\mathbf{a}_{2}-2\mathbf{a}_{3}, escreva como \mathbf{a}_{1}-3\mathbf{a}_{2}+2\mathbf{a}_{3}=\mathbf{0}.
  2. Construa \mathbf{x}=(1,-3,2)^T. Então A\mathbf{x}=\mathbf{0} com \mathbf{x}\neq\mathbf{0}; logo há solução não trivial.
  3. Colunas linearmente dependentes \Rightarrow \operatorname{rank}(A)\le2 \Rightarrow \det(A)=0 \Rightarrow A é singular (não invertível).

Resposta

Sim. O sistema A\mathbf{x}=\mathbf{0} tem solução não trivial (por exemplo \mathbf{x}=\begin{pmatrix}1\\\ -3\\\ 2\end{pmatrix}).
Não. A é singular (não é não singular), pois suas colunas são linearmente dependentes.

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