Sejam U e R matrizes triangulares superiores n \times n e faça T=U R. Mostre que T também é triangular superior e que t_{j j}=u_{i j} r_{j j} para j=1,2, \ldots, n.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dado: U e R são matrizes triangulares superiores de ordem n\times n.
Isso significa, para os elementos destas matrizes, queu_{ij}=0\quad\text{sempre que }i>j, \qquad r_{ij}=0\quad\text{sempre que }i>j.
Definição dada no enunciado: T = U R. Denotando os elementos de T por t_{ij}, vale a fórmula do produto de matrizes:t_{ij}=\sum_{k=1}^{n} u_{ik}\,r_{kj}.
O enunciado pede duas coisas:
Mostrar que T também é triangular superior (ou seja, provar que t_{ij}=0 sempre que i>j).
Mostrar que, para cada j=1,2,\dots,n, valet_{jj}=u_{jj}\,r_{jj}.
Passo 2
Lembrando e explicando as ferramentas que vamos usar.
O que significa ser triangular superior? Uma matriz M=(m_{ij}) é triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal forem zero, isto é, m_{ij}=0 sempre que i>j. Aqui sabemos isso para U e R.
Fórmula do produto de matrizes (já mencionada): para T=UR,t_{ij}=\sum_{k=1}^{n} u_{ik}\,r_{kj}.Essa soma agrega, para cada par (i,j), os produtos dos elementos da linha i de U com os da coluna j de R.
Para provar que T é triangular superior, preciso pegar um índice com i>j e mostrar que t_{ij}=0. Vou analisar termo a termo na soma da fórmula acima, usando a propriedade de zeros de U e R.
Passo 3
Provar que t_{ij}=0 quando i>j.
Pegue índices fixos com i>j. Considere um termo genérico da soma
u_{ik}\,r_{kj}
para algum k\in\{1,\dots,n\}. Vamos ver por que esse produto é sempre zero.
Se k\le j, então k\le j<i. Assim k<i, e pela triangularidade de U temos u_{ik}=0 (pois o índice da linha i é maior que o índice da coluna k). Logo nesse caso u_{ik}\,r_{kj}=0.
Se k\ge i, então k\ge i>j. Assim k>j, e pela triangularidade de R temos r_{kj}=0 (pois o índice da linha k é maior que o índice da coluna j). Logo nesse caso u_{ik}\,r_{kj}=0.
Observação: não existe k que satisfaça simultaneamente k\le j e k\ge i porque i>j. Portanto, para todo k na soma, ou u_{ik}=0 ou r_{kj}=0, ou ambos. Assim cada termo da soma é zero, logo a soma inteira é zero: