Sejam U e R matrizes triangulares superiores n \times n e faça T=U R. Mostre que T também é triangular superior e que t_{j j}=u_{i j} r_{j j} para j=1,2, \ldots, n.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dado: U e R são matrizes triangulares superiores de ordem n\times n.
    Isso significa, para os elementos destas matrizes, que u_{ij}=0\quad\text{sempre que }i>j, \qquad r_{ij}=0\quad\text{sempre que }i>j.
  • Definição dada no enunciado: T = U R. Denotando os elementos de T por t_{ij}, vale a fórmula do produto de matrizes: t_{ij}=\sum_{k=1}^{n} u_{ik}\,r_{kj}.
O enunciado pede duas coisas:
  1. Mostrar que T também é triangular superior (ou seja, provar que t_{ij}=0 sempre que i>j).
  2. Mostrar que, para cada j=1,2,\dots,n, vale t_{jj}=u_{jj}\,r_{jj}.

Passo 2

Lembrando e explicando as ferramentas que vamos usar.
  • O que significa ser triangular superior? Uma matriz M=(m_{ij}) é triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal forem zero, isto é, m_{ij}=0 sempre que i>j. Aqui sabemos isso para U e R.
  • Fórmula do produto de matrizes (já mencionada): para T=UR, t_{ij}=\sum_{k=1}^{n} u_{ik}\,r_{kj}.Essa soma agrega, para cada par (i,j), os produtos dos elementos da linha i de U com os da coluna j de R.
Para provar que T é triangular superior, preciso pegar um índice com i>j e mostrar que t_{ij}=0. Vou analisar termo a termo na soma da fórmula acima, usando a propriedade de zeros de U e R.

Passo 3

Provar que t_{ij}=0 quando i>j.
Pegue índices fixos com i>j. Considere um termo genérico da soma
u_{ik}\,r_{kj}
para algum k\in\{1,\dots,n\}. Vamos ver por que esse produto é sempre zero.
  • Se k\le j, então k\le j<i. Assim k<i, e pela triangularidade de U temos u_{ik}=0 (pois o índice da linha i é maior que o índice da coluna k). Logo nesse caso u_{ik}\,r_{kj}=0.
  • Se k\ge i, então k\ge i>j. Assim k>j, e pela triangularidade de R temos r_{kj}=0 (pois o índice da linha k é maior que o índice da coluna j). Logo nesse caso u_{ik}\,r_{kj}=0.
Observação: não existe k que satisfaça simultaneamente k\le j e k\ge i porque i>j. Portanto, para todo k na soma, ou u_{ik}=0 ou r_{kj}=0, ou ambos. Assim cada termo da soma é zero, logo a soma inteira é zero:
t_{ij}=\sum_{k=1}^{n} u_{ik}\,r_{kj}=0\quad\text{quando }i>j.
Isso prova que todos os elementos abaixo da diagonal de T são zero, logo T é triangular superior.

Passo 4

Provar que os elementos diagonais satisfazem t_{jj}=u_{jj}\,r_{jj}.
Agora fixe um índice diagonal j. Pela fórmula do produto,
t_{jj}=\sum_{k=1}^{n} u_{jk}\,r_{kj}.
Vamos ver quais termos dessa soma podem ser não nulos.
  • Se k<j, então u_{jk}=0 (pois em U a linha j com coluna k<j está abaixo da diagonal), logo u_{jk}\,r_{kj}=0.
  • Se k>j, então r_{kj}=0 (pois em R a linha k>j com coluna j está abaixo da diagonal), logo u_{jk}\,r_{kj}=0.
  • O único valor de k que não cai em nenhum desses casos é k=j. Para k=j o termo é u_{jj}\,r_{jj}, que pode ser não zero.
Portanto todos os termos da soma são zero, exceto possivelmente o termo com k=j. Assim
t_{jj}=\sum_{k=1}^{n} u_{jk}\,r_{kj}=u_{jj}\,r_{jj}.
Isso vale para todo j=1,2,\dots,n.

Passo 5

Ilustração rápida com exemplo simbólico 3\times3 (só para fixar a intuição).
Escrevendo
U=\begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13}\\[4pt] 0 & u_{22} & u_{23}\\[4pt] 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix},\qquad R=\begin{pmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13}\\[4pt] 0 & r_{22} & r_{23}\\[4pt] 0 & 0 & r_{33} \end{pmatrix},
os elementos de T=UR são, por exemplo,
t_{21}=u_{21}r_{11}+u_{22}r_{21}+u_{23}r_{31}.
Mas u_{21}=0 (pois 2>1), r_{21}=0 (pois 2>1) e r_{31}=0 (pois 3>1), então t_{21}=0. Para uma diagonal,
t_{22}=u_{21}r_{12}+u_{22}r_{22}+u_{23}r_{32}=0+u_{22}r_{22}+0=u_{22}r_{22},
conferindo as conclusões acima.]

Resposta

T é triangular superior; para todo j=1,2,\ldots,n vale \;t_{jj}=u_{jj}\,r_{jj}.

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