Seja A uma matriz 3 \times 3 e suponha que
2 \mathbf{a}_{1}+\mathbf{a}_{2}-4 \mathbf{a}_{3}=\mathbf{0}
Quantas soluções tem o sistema A \mathbf{x}=\mathbf{0} ? Explique. A é não singular? Explique.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz 3\times3 chamada A e a relação entre as suas colunas:
2\mathbf{a}_{1}+\mathbf{a}_{2}-4\mathbf{a}_{3}=\mathbf{0},
onde \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3 são as colunas de A.
As perguntas a responder são:
  • Quantas soluções tem o sistema A\mathbf{x}=\mathbf{0} ?
  • A é não singular (invertível) ?

Passo 2

Esclarecimento básico sobre o que significa A\mathbf{x}=\mathbf{0}.
Se \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)^{T}, a multiplicação por colunas dá
A\mathbf{x}=x_1\mathbf{a}_1+x_2\mathbf{a}_2+x_3\mathbf{a}_3.
O sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} tem sempre a solução trivial \mathbf{x}=\mathbf{0}. A questão importante é se existem soluções não triviais (ou seja, \mathbf{x}\neq\mathbf{0}).

Passo 3

Usar a relação fornecida para construir explicitamente uma solução não trivial. Pela hipótese,
2\mathbf{a}_{1}+\mathbf{a}_{2}-4\mathbf{a}_{3}=\mathbf{0}.
Isto é exatamente a igualdade
A\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]-4\end{pmatrix}=\mathbf{0}.
Como o vetor \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]-4\end{pmatrix} é não nulo, \mathbf{x}=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ -4\end{pmatrix} é uma solução não trivial do sistema homogêneo.]

Passo 4

Consequência: existência de solução não trivial implica infinitas soluções.
Se \mathbf{v} é uma solução não nula de A\mathbf{x}=\mathbf{0}, então, para qualquer escalar t\in\mathbb{R},
A(t\mathbf{v}) = t\,A\mathbf{v} = t\mathbf{0}=\mathbf{0},
logo todos os múltiplos escalares t\mathbf{v} também são soluções. Como há infinitos escalares t, existem infinitas soluções do sistema homogêneo (na verdade as soluções formam um subespaço linear não trivial).

Passo 5

Relação com posto (rank) e singularidade. Definições e consequências:
  • O posto de A, \operatorname{rank}(A), é o número de colunas linearmente independentes.
  • A existência da relação linear dada mostra que as colunas \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3 são linearmente dependentes, portanto
\operatorname{rank}(A)\le 2<3.
  • Pelo teorema do posto-nulidade (rank-nullity) em \mathbb{R}^3,
\operatorname{nullity}(A)=3-\operatorname{rank}(A)\ge 1,
ou seja, o espaço de soluções tem dimensão pelo menos 1, compatível com infinitas soluções.
  • Uma matriz A é não singular (invertível) exatamente quando \operatorname{rank}(A)=3. Como \operatorname{rank}(A)<3, A não é invertível; em outras palavras, A é singular. Equivalentemente, \det(A)=0.

Passo 6

Observação adicional (útil na prova): não se pode afirmar mais do que isso sem informação extra. Pode ocorrer \operatorname{rank}(A)=2 (então o espaço nulo tem dimensão 1, soluções formam uma reta), ou \operatorname{rank}(A)=1 (espaço nulo de dimensão 2, soluções formam um plano), ou no caso extremo \operatorname{rank}(A)=0 (todas as colunas nulas, espaço nulo de dimensão 3). Em todo caso, há sempre mais de uma solução.

Resposta

O sistema A\mathbf{x}=\mathbf{0} tem infinitas soluções.
Não; A é singular (não é invertível).

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