Seja f(x, y)=llx^3x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0) Mostre que partial fpartial u(0,0) neqlang<=nabla f(0,0), urang<=, em que u é o versor de (1,1). Explique porque isso ocorre.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado nos apresenta uma função f(x, y) definida de maneira diferente quando o ponto (x, y) é (0,0) e quando não é. A matéria aqui envolve derivadas parciais, gradiente e derivadas direcionais. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender como calcular a derivada direcional em um ponto específico e como relacioná-la com o gradiente da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada direcional de f no ponto (0,0) na direção do vetor u = ( 1raiz2, 1raiz2 ) , que é o versor do vetor (1,1). A derivada direcional é dada por:
partial fpartial u(0,0) = limh to 0 f(0 + h cdot ux, 0 + h cdot uy) - f(0,0)h
Substituindo ux = uy = 1raiz2 :
partial fpartial u(0,0) = limh to 0 f(hraiz2, hraiz2) - 0h = limh to 0 f(hraiz2, hraiz2)h
Agora, vamos calcular f(hraiz2, hraiz2) :
f(hraiz2, hraiz2) = (hraiz2)^3(hraiz2)^2 + (hraiz2)^2 = h^32raiz2h^22 + h^22 = h^32raiz2h^2 = h2raiz2
Portanto, a derivada direcional fica:
partial fpartial u(0,0) = limh to 0 h2raiz2h = 12raiz2

Passo 3

Agora, vamos tentar encontrar o gradiente de f no ponto (0,0), denotado por nabla f(0,0) . O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a x e y nesse ponto:
nabla f(0,0) = ( partial fpartial x(0,0), partial fpartial y(0,0) )
Vamos calcular cada derivada parcial.
Primeiro, a derivada parcial em relação a x :
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h = limh to 0 h^3h^2 + 0 - 0h = limh to 0 h^3h^3 = 1
Segundo, a derivada parcial em relação a y :
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k = limk to 0 00 + k^2 - 0k = 0
Portanto:
nabla f(0,0) = (1, 0)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto interno entre o gradiente nabla f(0,0) e o vetor u :
lang<= nabla f(0,0), u rang<= = (1, 0) cdot ( 1raiz2, 1raiz2 ) = 1 cdot 1raiz2 + 0 cdot 1raiz2 = 1raiz2

Passo 5

Agora, vamos comparar os dois resultados que obtivemos:
partial fpartial u(0,0) = 12raiz2 e lang<= nabla f(0,0), u rang<= = 1raiz2
Claramente, 12raiz2 neq 1raiz2 .

Resposta

Portanto, mostramos que partial fpartial u(0,0) neq lang<= nabla f(0,0), u rang<= . Isso ocorre porque a função f não é diferenciável no ponto (0,0), fazendo com que o gradiente não capture completamente as variações da função nessa direção específica.

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