Seja Mostre que partial fpartial u(0,0) neqlang<=nabla f(0,0), urang<=, em que u é o versor de (1,1). Explique porque isso ocorre.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O enunciado nos apresenta uma função f(x, y) definida de maneira diferente quando o ponto (x, y) é (0,0) e quando não é. A matéria aqui envolve derivadas parciais, gradiente e derivadas direcionais. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender como calcular a derivada direcional em um ponto específico e como relacioná-la com o gradiente da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada direcional de f no ponto (0,0) na direção do vetor u = ( 1raiz2, 1raiz2 ) , que é o versor do vetor (1,1). A derivada direcional é dada por:
partial fpartial u(0,0) = limh to 0 f(0 + h cdot ux, 0 + h cdot uy) - f(0,0)h
Substituindo ux = uy = 1raiz2 :
partial fpartial u(0,0) = limh to 0 f(hraiz2, hraiz2) - 0h = limh to 0 f(hraiz2, hraiz2)h
partial fpartial u(0,0) = limh to 0 h2raiz2h = 12raiz2
Passo 3
Agora, vamos tentar encontrar o gradiente de f no ponto (0,0), denotado por nabla f(0,0) . O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a x e y nesse ponto:
Agora, vamos comparar os dois resultados que obtivemos:
partial fpartial u(0,0) = 12raiz2 e lang<= nabla f(0,0), u rang<= = 1raiz2
Claramente, 12raiz2 neq 1raiz2 .
Resposta
Portanto, mostramos que partial fpartial u(0,0) neq lang<= nabla f(0,0), u rang<= . Isso ocorre porque a função f não é diferenciável no ponto (0,0), fazendo com que o gradiente não capture completamente as variações da função nessa direção específica.