Resolva os PVIs:
Passo 1
Então, a gente tem um problema de valor inicial (PVI) que diz:
com as condições iniciais:
Vamos resolver essa equação diferencial usando métodos de equações de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos achar a função
que satisfaz essa equação e as condições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, vamos encontrar a equação característica. Supondo uma solução da forma
, substituímos na equação:
Fatorando
:
Como
nunca é zero, temos:
Passo 3
Vamos resolver a equação característica:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, usemos
:
Passo 6
Vamos encontrar
para usar a segunda condição
:
Aplicando
:
Passo 7
Agora que temos
, substituímos na Equação 1 para encontrar
:
Resposta
A solução do PVI é: