Resolva os PVIs:
y^prime prime+3 y^prime=0 ; y(0)=1 ; y^prime(0)=3

Passo 1

Então, a gente tem um problema de valor inicial (PVI) que diz:
y'' + 3y' = 0
com as condições iniciais:
y(0) = 1
y'(0) = 3
Vamos resolver essa equação diferencial usando métodos de equações de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos achar a função y(t) que satisfaz essa equação e as condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + 3y' = 0
Para isso, vamos encontrar a equação característica. Supondo uma solução da forma y = e^rt , substituímos na equação:
r^2 e^rt + 3r e^rt = 0
Fatorando e^rt :
e^rt(r^2 + 3r) = 0
Como e^rt nunca é zero, temos:
r^2 + 3r = 0

Passo 3

Vamos resolver a equação característica:
r(r + 3) = 0
Então, as raízes são:
r1 = 0
r2 = -3

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
y(t) = C1 e^0 cdot t + C2 e^-3t
y(t) = C1 + C2 e^-3t

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de C1 e C2 .
Primeiro, usemos y(0) = 1 :
y(0) = C1 + C2 e^0 = C1 + C2 = 1
C1 + C2 = 1 (Equação 1) çã

Passo 6

Vamos encontrar y'(t) para usar a segunda condição y'(0) = 3 :
y(t) = C1 + C2 e^-3t
y'(t) = -3 C2 e^-3t
Aplicando t = 0 :
y'(0) = -3 C2 e^0 = -3 C2 = 3
-3 C2 = 3
C2 = -1

Passo 7

Agora que temos C2 = -1 , substituímos na Equação 1 para encontrar C1 :
C1 + (-1) = 1
C1 = 2

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = 2 - e^-3t

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