Seja o movimento de uma partícula esférica de diâmetro D e densidade
numa centrífuga tubular a
RPM. Deduzir a expressão que fornece o tempo consumido para a partícula se deslocar da posição radial
à posição radial
. É válido o regime de Newton (
).
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede pra deduzir o tempo que uma partícula esférica (diâmetro D, densidade ρ_s) leva pra ir do raio R₁ ao R₂ dentro de uma centrífuga tubular girando a N RPM.
Conteúdo: dinâmica de partículas em fluido, força centrífuga, arrasto no regime de Newton (C_D=0,40) e integração de velocidade radial.
O que vamos precisar:
Conteúdo: dinâmica de partículas em fluido, força centrífuga, arrasto no regime de Newton (C_D=0,40) e integração de velocidade radial.
O que vamos precisar:
- Converter N (RPM) em velocidade angular ω = 2πN/60.
- Identificar todas as forças na direção radial (centrífuga, boia e arrasto).
- Achar a velocidade terminal v® equacionando forças.
- Integrar dr/v® de R₁ a R₂ pra obter o tempo.
Passo 2
Forças atuando na partícula em regime estacionário (velocidade radial constante):
- Força centrífuga menos força de boia (é análoga ao peso reduzido):
F_c = (ρ_s–ρ_f)·V·ω²·r
onde V = πD³/6 é o volume da esfera e ρ_f é a densidade do fluido (não fornecida, a gente chama de ρ_f). - Força de arrasto no regime de Newton:
F_D = ½·ρ_f·C_D·A·v²®,
com A = πD²/4 área de projeção e C_D = 0,40.
No estado estacionário: F_c = F_D.
Passo 3
Escrevendo o equilíbrio:
(ρ_s–ρ_f)·V·ω²·r = ½·ρ_f·C_D·A·v²®.
Substituindo V e A:
(ρ_s–ρ_f)·(πD³/6)·ω²·r = ½·ρ_f·C_D·(πD²/4)·v²®.
Cancelando πD² dos dois lados:
(ρ_s–ρ_f)·(D/6)·ω²·r = ½·ρ_f·C_D·(1/4)·v²®
⇒ v²® = \frac{(ρ_s–ρ_f),(D/6),ω²,r}{(ρ_f·C_D/8)}
⇒ v²® = \frac{8(ρ_s–ρ_f),D,ω²,r}{6,ρ_f,C_D}
⇒ v® = ω·\sqrt{\frac{4D,(ρ_s–ρ_f),r}{3,ρ_f,C_D}}.
(ρ_s–ρ_f)·V·ω²·r = ½·ρ_f·C_D·A·v²®.
Substituindo V e A:
(ρ_s–ρ_f)·(πD³/6)·ω²·r = ½·ρ_f·C_D·(πD²/4)·v²®.
Cancelando πD² dos dois lados:
(ρ_s–ρ_f)·(D/6)·ω²·r = ½·ρ_f·C_D·(1/4)·v²®
⇒ v²® = \frac{(ρ_s–ρ_f),(D/6),ω²,r}{(ρ_f·C_D/8)}
⇒ v²® = \frac{8(ρ_s–ρ_f),D,ω²,r}{6,ρ_f,C_D}
⇒ v® = ω·\sqrt{\frac{4D,(ρ_s–ρ_f),r}{3,ρ_f,C_D}}.
Passo 4
Agora temos dr/dt = v®, ou
dt = dr / \Bigl[ω·\sqrt{\tfrac{4D,(ρ_s–ρ_f)}{3,ρ_f,C_D}}·\sqrt{r}\Bigr].
Integramos de r=R₁ a R₂:
t = ∫_{R₁}^{R₂} dt
= \frac{1}{ω}\sqrt{\frac{3,ρ_f,C_D}{4D,(ρ_s–ρ_f)}}
·∫_{R₁}^{R₂} r^{–½} dr
= \frac{1}{ω}\sqrt{\frac{3ρ_fC_D}{4D(ρ_s–ρ_f)}}·[2√r]_{R₁}^{R₂}.
dt = dr / \Bigl[ω·\sqrt{\tfrac{4D,(ρ_s–ρ_f)}{3,ρ_f,C_D}}·\sqrt{r}\Bigr].
Integramos de r=R₁ a R₂:
t = ∫_{R₁}^{R₂} dt
= \frac{1}{ω}\sqrt{\frac{3,ρ_f,C_D}{4D,(ρ_s–ρ_f)}}
·∫_{R₁}^{R₂} r^{–½} dr
= \frac{1}{ω}\sqrt{\frac{3ρ_fC_D}{4D(ρ_s–ρ_f)}}·[2√r]_{R₁}^{R₂}.
Passo 5
Então o tempo final fica:
t = \frac{2}{ω},\sqrt{\frac{3,ρ_f,C_D}{4D,(ρ_s–ρ_f)}};\bigl(\sqrt{R₂} – \sqrt{R₁}\bigr),
com ω = \tfrac{2πN}{60}.
t = \frac{2}{ω},\sqrt{\frac{3,ρ_f,C_D}{4D,(ρ_s–ρ_f)}};\bigl(\sqrt{R₂} – \sqrt{R₁}\bigr),
com ω = \tfrac{2πN}{60}.