Mostre que na técnica de sedimentação, versão incremental,
onde
é a fração em massa das partículas de diâmetro menor que
,
sendo
a concentração da suspensão em
e
a concentração medida no tempo
a uma distância
abaixo do nível da suspensão na proveta.
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz que na técnica de sedimentação incremental a gente deve mostrar que
onde
-
é a fração em massa das partículas com diâmetro menor que ,
-
é a concentração inicial da suspensão ( ), -
é a concentração medida no tempo a uma profundidade .
O conteúdo aqui é sedimentação de partículas e distribuição granulométrica. Para resolver vamos precisar da lei de Stokes (velocidade terminal de uma esfera no fluido), da relação distância-tempo de sedimentação e de entender como concentração se relaciona com massa de partículas.
Passo 2
Primeiro, lembra da lei de Stokes: para uma partícula esférica em escoamento laminar, a força de arrasto
se equilibra com o peso aparente
Como
, igualando
e resolvendo para
dá
Esta é a velocidade terminal de uma partícula de diâmetro
.
Passo 3
Agora, se uma partícula viaja a essa velocidade
durante o tempo
, ela percorre
Queremos saber o diâmetro
que, em tempo
, deposita-se exatamente a uma profundidade
. Então impomos
e resolvemos:
Passo 4
Pensando na suspensão: todas as partículas com diâmetro maior que
já passaram pela profundidade
em tempo
. Logo, na altura
restam só as partículas com
. A concentração
medida ali é proporcional à massa dessas partículas finas. Como
era a massa total no início, a razão
é exatamente a fração de massa das partículas com
, ou seja
.