Mostre que na técnica de sedimentação, versão incremental,
x(dS t)=cc0
onde X é a fração em massa das partículas de diâmetro menor que dS t,
dS t=[18 mu hg(rhoS-rho) t]^1 / 2,
sendo co a concentração da suspensão em t=0 e c a concentração medida no tempo t a uma distância h abaixo do nível da suspensão na proveta.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que na técnica de sedimentação incremental a gente deve mostrar que
x(dSt) ;=;cc0,
onde
  • dSt ;=;l[tfrac18,mu,hg,(rhoS-rho),tr]^1/2, é a fração em massa das partículas com diâmetro menor que ,
  • é a concentração inicial da suspensão ( ),
  • é a concentração medida no tempo a uma profundidade .
O conteúdo aqui é sedimentação de partículas e distribuição granulométrica. Para resolver vamos precisar da lei de Stokes (velocidade terminal de uma esfera no fluido), da relação distância-tempo de sedimentação e de entender como concentração se relaciona com massa de partículas.

Passo 2

Primeiro, lembra da lei de Stokes: para uma partícula esférica em escoamento laminar, a força de arrasto
Fd = 6pi,mu,r,v
se equilibra com o peso aparente
Fp = tfrac43pi r^3(rhoS-rho),g
Como v(d) ;=;d^2(rhoS-rho),g18,mu , igualando e resolvendo para
Esta é a velocidade terminal de uma partícula de diâmetro .

Passo 3

Agora, se uma partícula viaja a essa velocidade s = v,t = d^2(rhoS-rho),g18,mu;t durante o tempo h = dSt^2(rhoS-rho),g18,mu;t ;Longrightarrow; dSt^2 = 18,mu,h(rhoS-rho),g,t ;Longrightarrow; dSt = l[tfrac18,mu,hg,(rhoS-rho),tr]^1/2 , ela percorre
Queremos saber o diâmetro que, em tempo , deposita-se exatamente a uma profundidade . Então impomos e resolvemos:

Passo 4

Pensando na suspensão: todas as partículas com diâmetro maior que cc0 já passaram pela profundidade em tempo . Logo, na altura restam só as partículas com . A concentração medida ali é proporcional à massa dessas partículas finas. Como era a massa total no início, a razão
é exatamente a fração de massa das partículas com , ou seja .

Resposta

x(dSt) ;=;cc0

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