Seja n \in \mathbb{N}, \operatorname{com} n \geq 2. Dado m \in \mathbb{N}, mostre que \bar{m} gera o grupo aditivo \mathbb{Z}_{n} se, e somente se, \bar{m} é um elemento invertível (para a multiplicação) em \mathbb{Z}_{n}.
Passo 1
O enunciado dá:
n\in\mathbb{N}, com n\ge 2.
m\in\mathbb{N}.
Pede-se para mostrar que \bar{m} gera o grupo aditivo \mathbb{Z}_{n} se, e somente se, \bar{m} é um elemento invertível (para a multiplicação) em \mathbb{Z}_{n}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\bar{m} denota a classe de m em \mathbb{Z}_n.
"Gerar o grupo aditivo \mathbb{Z}_n" significa que o subgrupo gerado por \bar m é todo \mathbb{Z}_n, isto é, para todo \bar a\in\mathbb{Z}_n existe k\in\mathbb{Z} tal que k\bar m=\bar a.
"Elemento invertível (para a multiplicação) em \mathbb{Z}_n" significa que existe \bar x\in\mathbb{Z}_n tal que \bar m\cdot\bar x=\bar 1.
Passo 2
Vou deixar bem claro as definições e um lema útil (isso é a parte “aula” para você entender na prova).
Definições:
A classe \bar m em \mathbb{Z}_n é o conjunto \{m+kn: k\in\mathbb{Z}\}. Operações são feitas módulo n.
O subgrupo aditivo gerado por \bar m é
\langle \bar m\rangle=\{k\bar m : k\in\mathbb{Z}\}=\{\overline{km}:k\in\mathbb{Z}\}.
Dizemos que \bar m gera \mathbb{Z}_n quando \langle\bar m\rangle=\mathbb{Z}_n.
\bar m é invertível (é uma unidade) em \mathbb{Z}_n se existe \bar x tal que
\bar m\cdot\bar x=\bar 1,
ou equivalentemente existe x\in\mathbb{Z} com \overline{m x}=\bar 1, ou seja,
m x\equiv 1\pmod{n}.
Lema (identidade de Bézout / caract. de invertibilidade): Para m,n\in\mathbb{Z} tem-se que existe x\in\mathbb{Z} com m x\equiv 1\pmod{n} se, e somente se, \gcd(m,n)=1.
Explicação curta do lema: se \gcd(m,n)=1, então existem inteiros u,v tais que um+vn=1 (identidade de Bézout), daí \overline{u} é inverso multiplicativo de \bar m. Se existe x com mx\equiv 1\pmod{n} então mx-1 é múltiplo de n, logo qualquer divisor comum de m e n divide 1, portanto \gcd(m,n)=1.
Passo 3
Prova da implicação "se \bar m é multiplicativamente invertível então \bar m gera o grupo aditivo \mathbb{Z}_n".
Suponha que \bar m tem inverso multiplicativo \bar u, ou seja,
\overline{u m}=\bar 1.
Pegue um elemento qualquer \bar a\in\mathbb{Z}_n e escolha um representante inteiro a tal que \bar a=\bar a (só lembrando o que \bar a significa). Considere o inteiro k=ua. Então
\overline{k m}=\overline{(u a) m}=\overline{a (u m)}=\overline{a\cdot 1}=\bar a.
Aqui usei associatividade e comutatividade das operações em \mathbb{Z}_n. Assim para todo \bar a existe k tal que k\bar m=\bar a. Logo \langle\bar m\rangle=\mathbb{Z}_n, ou seja, \bar m gera o grupo aditivo.
Comentário intuitivo: tendo um inverso multiplicativo \bar u você “divide” qualquer elemento \bar a por \bar m multiplicando por \bar u e obtém o coeficiente k cujo múltiplo de \bar m dá \bar a.
Passo 4
Prova da implicação “se \bar m gera o grupo aditivo \mathbb{Z}_n então \bar m é multiplicativamente invertível”.
Suponha \langle\bar m\rangle=\mathbb{Z}_n. Em particular \bar 1\in\langle\bar m\rangle. Portanto existe k\in\mathbb{Z} tal que
k\bar m=\bar 1,
ou seja,
\overline{k m}=\bar 1.
Isto significa que k m\equiv 1\pmod{n}, e portanto a classe \bar k satisfaz \bar k\cdot\bar m=\bar 1. Assim \bar m possui inverso multiplicativo \bar k, logo é invertível.
Comentário: gerar o grupo aditivo implica que o elemento \bar 1 (que é o gerador padrão) apareça como múltiplo de \bar m; esse múltiplo é justamente um inverso multiplicativo.
Passo 5
Interpretação com \gcd(m,n) (útil para a prova na hora): as duas propriedades acima são ambas equivalentes à condição \gcd(m,n)=1.
Se \gcd(m,n)=1 então, pela identidade de Bézout, existem inteiros u,v com um+vn=1. Reduzindo módulo n obtemos \overline{u m}=\bar 1, logo \bar m é invertível; pelo Passo 3 isso implica que \bar m gera \mathbb{Z}_n.
Se \bar m gera \mathbb{Z}_n então existe k com km\equiv 1\pmod{n}; assim \gcd(m,n)=1 (pois qualquer divisor comum de m e n dividiria km-1 e, portanto, 1).
Observação adicional (opcional, mas pedagógica): a ordem aditiva de \bar m em \mathbb{Z}_n é \dfrac{n}{\gcd(m,n)}. Em particular \bar m gera todo \mathbb{Z}_n (ordem n) exatamente quando \gcd(m,n)=1.
Passo 6
Resumo do que provamos passo a passo:
\bar m invertível \Rightarrow\bar m gera \mathbb{Z}_n (Passo 3).
\bar m gera \mathbb{Z}_n\Rightarrow\bar m invertível (Passo 4).
Ambas as propriedades são equivalentes à condição aritmética \gcd(m,n)=1 (Passo 5).
Assim concluímos a equivalência pedida.
Resposta
\bar{m} gera \mathbb{Z}_{n} se, e somente se, \bar{m} é invertível em \mathbb{Z}_{n}; equivalently, isso acontece exatamente quando \gcd(m,n)=1.