Sejam
e
dois subgrupos normais de
. Mostre que
e
também são subgrupos normais de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
- Dados:
e são subgrupos normais de um grupo . - Pedidos: mostrar que
-
é um subgrupo normal de ; -
é um subgrupo normal de .
-
Passo 2
Recordando definições e um critério prático (tudo explicado de forma simples).
- Definição de subgrupo: um subconjunto
é subgrupo se contém a identidade, é fechado em produto e contém inversos. Uma forma compacta e útil (teste de subgrupo) é: se e para todo vale , então é subgrupo. - Definição de normalidade: um subgrupo
é normal se para todo e todo tem . Em notação equivalente: para todo .
Vou usar essas definições passo a passo para cada conjunto pedido.
Passo 3
Prova de que
é subgrupo de
.
- Primeiro verificar não vazio: como
e são subgrupos, contêm a identidade . Logo , então . - Aplicar o teste de subgrupo: tome
. Então e . Como e são subgrupos, temos e . Portanto . - Pela condição do teste,
é subgrupo de .
Passo 4
Prova de que
é normal em
.
- Pegue
e . Como e é normal, tem . Do mesmo modo, como e é normal, tem . - Assim
. Isso vale para todo e todo , então é normal em .
Passo 5
Prova de que
é subgrupo de
.
- Definição:
. Note que , então . - Fechamento (produto): tome
e com . Então Explicação dessa fatoração: primeiro multiplica-se diretamente, depois insere-se a conjugação para agrupar um elemento de à esquerda e um elemento de à direita. - Agora uso a normalidade: como
é normal em e , tem . Logo Assim pode ser escrito como um elemento de vezes um elemento de , ou seja . Logo é fechado por produto. - Inversos: para
tem Escreve-se e como é normal, . Também . Portanto . - Pelo teste de subgrupo (ou verificando identidade, fechamento e inversos),
é subgrupo de .
Passo 6
Prova de que
é normal em
.
- Seja
e . Então - Como
e são normais, e . Portanto o produto pertence a . - Isso mostra
para todo . Aplicando o mesmo raciocínio a obtém-se a inclusão oposta, portanto . Assim é normal em .