Sejam H e K dois subgrupos normais de G. Mostre que H \cap K e H K também são subgrupos normais de G.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
  • Dados: H e K são subgrupos normais de um grupo G.
  • Pedidos: mostrar que
    • H\cap K é um subgrupo normal de G;
    • H K=\{hk\mid h\in H,\;k\in K\} é um subgrupo normal de G.

Passo 2

Recordando definições e um critério prático (tudo explicado de forma simples).
  • Definição de subgrupo: um subconjunto S\subseteq G é subgrupo se contém a identidade, é fechado em produto e contém inversos. Uma forma compacta e útil (teste de subgrupo) é: se S\neq\varnothing e para todo a,b\in S vale ab^{-1}\in S, então S é subgrupo.
  • Definição de normalidade: um subgrupo N\le G é normal se para todo g\in G e todo n\in N tem gng^{-1}\in N. Em notação equivalente: gNg^{-1}=N para todo g\in G.
    Vou usar essas definições passo a passo para cada conjunto pedido.

Passo 3

Prova de que H\cap K é subgrupo de G.
  • Primeiro verificar não vazio: como H e K são subgrupos, contêm a identidade e. Logo e\in H\cap K, então H\cap K\neq\varnothing.
  • Aplicar o teste de subgrupo: tome a,b\in H\cap K. Então a,b\in H e a,b\in K. Como H e K são subgrupos, temos ab^{-1}\in H e ab^{-1}\in K. Portanto ab^{-1}\in H\cap K.
  • Pela condição do teste, H\cap K é subgrupo de G.

Passo 4

Prova de que H\cap K é normal em G.
  • Pegue g\in G e x\in H\cap K. Como x\in H e H é normal, tem gxg^{-1}\in H. Do mesmo modo, como x\in K e K é normal, tem gxg^{-1}\in K.
  • Assim gxg^{-1}\in H\cap K. Isso vale para todo g\in G e todo x\in H\cap K, então H\cap K é normal em G.

Passo 5

Prova de que HK é subgrupo de G.
  • Definição: HK=\{hk\mid h\in H,\;k\in K\}. Note que e=e\cdot e\in HK, então HK\neq\varnothing.
  • Fechamento (produto): tome x=h_1k_1\in HK e y=h_2k_2\in HK com h_i\in H,\\ k_i\in K. Então xy=(h_1k_1)(h_2k_2)=h_1\bigl(k_1h_2k_1^{-1}\bigr)(k_1k_2).Explicação dessa fatoração: primeiro multiplica-se diretamente, depois insere-se a conjugação k_1h_2k_1^{-1} para agrupar um elemento de H à esquerda e um elemento de K à direita.
  • Agora uso a normalidade: como H é normal em G e k_1\in G, tem k_1h_2k_1^{-1}\in H. Logo h_1\bigl(k_1h_2k_1^{-1}\bigr)\in H \qquad\text{e}\qquad k_1k_2\in K.Assim xy pode ser escrito como um elemento de H vezes um elemento de K, ou seja xy\in HK. Logo HK é fechado por produto.
  • Inversos: para x=hk\in HK tem x^{-1}=(hk)^{-1}=k^{-1}h^{-1}.Escreve-se k^{-1}h^{-1}=(k^{-1}h^{-1}k)\,k^{-1},e como H é normal, k^{-1}h^{-1}k\in H. Também k^{-1}\in K. Portanto x^{-1}\in HK.
  • Pelo teste de subgrupo (ou verificando identidade, fechamento e inversos), HK é subgrupo de G.

Passo 6

Prova de que HK é normal em G.
  • Seja g\in G e x=hk\in HK. Então gxg^{-1}=g(hk)g^{-1}=(ghg^{-1})(gkg^{-1}).
  • Como H e K são normais, ghg^{-1}\in H e gkg^{-1}\in K. Portanto o produto (ghg^{-1})(gkg^{-1}) pertence a HK.
  • Isso mostra g(HK)g^{-1}\subseteq HK para todo g. Aplicando o mesmo raciocínio a g^{-1} obtém-se a inclusão oposta, portanto g(HK)g^{-1}=HK. Assim HK é normal em G.

Resposta

H\cap K é subgrupo normal de G.
HK é subgrupo normal de G.

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