Com a notação do problema 12, seja N:=\left\{f_{1 b} \in G\right\}. Prove que:
(a) N é um subgrupo de G.
(b) Se g \in G e n \in N, então g \circ n \circ g^{-1} \in N.

Passo 1

O enunciado (com a notação do problema 12) nos dá uma família de funções da forma f_{a b} definidas por
f_{a b}(x)=a x + b,
com a\neq 0, e o conjunto G é um grupo formado por essas funções com a operação sendo a composição de funções. Foi definido
N := \{\,f_{1 b}\in G \,\},
ou seja, N é o subconjunto de G formado pelas funções do tipo f_{1 b}(x)=x+b (as translações). O que o enunciado pede:
(a) Mostrar que N é um subgrupo de G.
(b) Mostrar que, para todo g\in G e todo n\in N, tem-se g\circ n\circ g^{-1}\in N.
Vou usar apenas a definição explícita das funções f_{a b}, a operação composição e as propriedades elementares de função inversa. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Primeiro vamos obter a fórmula da composição de duas dessas funções — essa fórmula será usada várias vezes e é fácil de derivar passo a passo.
Tomemos f_{a b} e f_{c d}. Para qualquer x,
(f_{a b}\circ f_{c d})(x)=f_{a b}\big(f_{c d}(x)\big)=f_{a b}(c x + d).
Aplicando a definição de f_{a b},
f_{a b}(c x + d)=a\,(c x + d) + b = (a c)\,x + (a d + b).
Portanto, a composição é outra função da mesma família, com parâmetros dados por
f_{a b}\circ f_{c d}=f_{a c,\; a d + b}.
Esta fórmula mostra como multiplicar dois elementos do grupo G.

Passo 3

Em seguida vamos achar a identidade e o inverso geral de um elemento f_{a b}. Isso ajuda a mostrar propriedades de N.
Procure uma função identidade e tal que e\circ f_{a b}=f_{a b} e f_{a b}\circ e=f_{a b} para todo a,b. Pela forma f_{a b}(x)=a x + b, a função que deixa tudo igual é f_{1 0}, pois
f_{1 0}(x)=1\cdot x + 0 = x,
e usando a fórmula de composição temos f_{1 0}\circ f_{a b}=f_{1\cdot a,\;1\cdot b+0}=f_{a b} e similarmente f_{a b}\circ f_{1 0}=f_{a b}. Logo a identidade é f_{1 0}.
Agora o inverso. Queremos h tal que f_{a b}\circ h = f_{1 0}. Suponha h=f_{u v}. Pela fórmula de composição,
f_{a b}\circ f_{u v} = f_{a u,\; a v + b}.
Para isso ser f_{1 0} precisamos de a u = 1 e a v + b = 0. Daí u=\dfrac{1}{a} e v=-\dfrac{b}{a}. Portanto
f_{a b}^{-1}=f_{1/a,\; -b/a}.
Confirme mentalmente que também f_{u v}\circ f_{a b}=f_{1 0} com esses valores de u,v.

Passo 4

Prova de que N é subgrupo: vou usar o critério padrão fácil de aplicar em grupos: um subconjunto não vazio H de um grupo é subgrupo se é fechado para a operação e fechado para inversos (equivalente: contém identidade e fechado para produto e inverso). Vou verificar esses itens para N.
  1. Não vazio e identidade: f_{1 0} é elemento de N (basta tomar b=0), logo N\neq\varnothing e contém a identidade.
  2. Fechamento por produto (composição): tomemos n_1=f_{1 b}\in N e n_2=f_{1 c}\in N. Pela fórmula da composição,
n_1\circ n_2 = f_{1 b}\circ f_{1 c} = f_{1\cdot 1,\;1\cdot c + b} = f_{1,\; b+c}.
Como o primeiro parâmetro é 1, n_1\circ n_2 pertence a N. Assim N é fechado por composição.
  1. Fechamento por inversos: para n=f_{1 b}\in N, pelo passo anterior a fórmula do inverso dá
n^{-1}=f_{1 b}^{-1}=f_{1/1,\; -b/1}=f_{1,\; -b},
que também tem a forma f_{1(\cdot)}, logo n^{-1}\in N.
Com identidade em N, fechamento por produto e por inverso, concluímos que N é subgrupo de G.

Passo 5

Agora provamos (b): que para qualquer g\in G e n\in N vale g\circ n\circ g^{-1}\in N. Vou fazer uma conta explícita, usando as fórmulas já obtidas; isso mostra concretamente que a conjugação por um elemento de G envia elementos de N em elementos de N.
Seja g=f_{a c}\in G (com a\neq 0) e seja n=f_{1 b}\in N. Primeiro calculamos g\circ n usando a fórmula da composição:
g\circ n = f_{a c}\circ f_{1 b} = f_{a\cdot 1,\; a\cdot b + c} = f_{a,\; a b + c}.
Em seguida usamos o inverso de g obtido antes:
g^{-1}=f_{a c}^{-1}=f_{1/a,\; -c/a}.
Agora compomos (g\circ n)\circ g^{-1}:
(g\circ n)\circ g^{-1} = f_{a,\; a b + c}\circ f_{1/a,\; -c/a}.
Aplicando a regra de composição:
f_{a,\; a b + c}\circ f_{1/a,\; -c/a} = f_{a\cdot(1/a),\; a\cdot(-c/a) + (a b + c)}.
Simplificando os coeficientes:
a\cdot(1/a)=1,
e
a\cdot(-c/a) + (a b + c) = -c + a b + c = a b.
Logo
g\circ n\circ g^{-1} = f_{1,\; a b}.
Esse resultado tem a forma f_{1(\cdot)}, portanto pertence a N. Como g e n foram escolhidos arbitrariamente, isso prova que para todo g\in G e todo n\in N vale g\circ n\circ g^{-1}\in N.
Em palavras rápidas: ao conjugar uma translação x\mapsto x+b por uma homotetia+translação x\mapsto a x + c obtém-se uma nova translação x\mapsto x + a b.

Passo 6

Resumo intuitivo e moral da prova (rápido e encorajador): mostramos com contas diretas que as translações fecham por composição e inverso, logo formam um subgrupo; e que qualquer conjugação por um f_{a c} transforma f_{1 b} em f_{1, a b}, que é outra translação, logo N é invariante por conjugação (é um subgrupo normal, embora o enunciado tenha pedido apenas a inclusão de conjugados).

Resposta

(a) N é um subgrupo de G.
(b) Para todo g\in G e todo n\in N tem-se g\circ n\circ g^{-1}\in N.

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