Com a notação do problema 12, seja
. Prove que:
(a)
é um subgrupo de
.
(b) Se
e
, então
.
(a)
(b) Se
Passo 1
O enunciado (com a notação do problema 12) nos dá uma família de funções da forma
definidas por
com
, e o conjunto
é um grupo formado por essas funções com a operação sendo a composição de funções. Foi definido
ou seja,
é o subconjunto de
formado pelas funções do tipo
(as translações). O que o enunciado pede:
(a) Mostrar que
é um subgrupo de
.
(b) Mostrar que, para todo
e todo
, tem-se
.
Vou usar apenas a definição explícita das funções
, a operação composição e as propriedades elementares de função inversa. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Primeiro vamos obter a fórmula da composição de duas dessas funções — essa fórmula será usada várias vezes e é fácil de derivar passo a passo.
Tomemos
e
. Para qualquer
,
Aplicando a definição de
,
Portanto, a composição é outra função da mesma família, com parâmetros dados por
Esta fórmula mostra como multiplicar dois elementos do grupo
.
Passo 3
Em seguida vamos achar a identidade e o inverso geral de um elemento
. Isso ajuda a mostrar propriedades de
.
Procure uma função identidade
tal que
e
para todo
. Pela forma
, a função que deixa tudo igual é
, pois
e usando a fórmula de composição temos
e similarmente
. Logo a identidade é
.
Agora o inverso. Queremos
tal que
. Suponha
. Pela fórmula de composição,
Para isso ser
precisamos de
e
. Daí
e
. Portanto
Confirme mentalmente que também
com esses valores de
.
Passo 4
Prova de que
é subgrupo: vou usar o critério padrão fácil de aplicar em grupos: um subconjunto não vazio
de um grupo é subgrupo se é fechado para a operação e fechado para inversos (equivalente: contém identidade e fechado para produto e inverso). Vou verificar esses itens para
.
-
Não vazio e identidade:
é elemento de (basta tomar ), logo e contém a identidade. -
Fechamento por produto (composição): tomemos
e . Pela fórmula da composição,
Como o primeiro parâmetro é
,
pertence a
. Assim
é fechado por composição.
- Fechamento por inversos: para
, pelo passo anterior a fórmula do inverso dá
que também tem a forma
, logo
.
Com identidade em
, fechamento por produto e por inverso, concluímos que
é subgrupo de
.
Passo 5
Agora provamos (b): que para qualquer
e
vale
. Vou fazer uma conta explícita, usando as fórmulas já obtidas; isso mostra concretamente que a conjugação por um elemento de
envia elementos de
em elementos de
.
Seja
(com
) e seja
. Primeiro calculamos
usando a fórmula da composição:
Em seguida usamos o inverso de
obtido antes:
Agora compomos
:
Aplicando a regra de composição:
Simplificando os coeficientes:
e
Logo
Esse resultado tem a forma
, portanto pertence a
. Como
e
foram escolhidos arbitrariamente, isso prova que para todo
e todo
vale
.
Em palavras rápidas: ao conjugar uma translação
por uma homotetia+translação
obtém-se uma nova translação
.
Passo 6
Resumo intuitivo e moral da prova (rápido e encorajador): mostramos com contas diretas que as translações fecham por composição e inverso, logo formam um subgrupo; e que qualquer conjugação por um
transforma
em
, que é outra translação, logo
é invariante por conjugação (é um subgrupo normal, embora o enunciado tenha pedido apenas a inclusão de conjugados).
Resposta
(a)
é um subgrupo de
.
(b) Para todo e todo
tem-se
.
(b) Para todo