Seja n \in \mathbb{Z} e a \in \mathbb{R}^{*}, simplifique.
\frac{a^{2(n+1)} \cdot a^{3-n}}{a^{1-n}}

Passo 1

O enunciado dá a expressão a ser simplificada e as condições sobre as variáveis. Escrevendo isso claramente:
  • Temos n \in \mathbb{Z} (um inteiro).
  • Temos a \in \mathbb{R}^{*} (um número real diferente de zero).
  • A expressão a simplificar é
\frac{a^{2(n+1)} \cdot a^{3-n}}{a^{1-n}}.
O que o problema pede: simplificar essa expressão usando as regras de potências.

Passo 2

Relembrando as regras de potência que vamos usar (cada uma explicada de forma simples):
  • Produto de potências com mesma base: para quaisquer inteiros m,k,
a^{m}\cdot a^{k}=a^{m+k}.
Significa: quando multiplico potências de mesma base, somo os expoentes.
  • Quociente de potências com mesma base: para quaisquer inteiros m,k,
\frac{a^{m}}{a^{k}}=a^{m-k},
desde que a\neq 0. Significa: ao dividir potências da mesma base, subtraio os expoentes.
  • Potência de potência: para inteiros m,k,
\left(a^{m}\right)^{k}=a^{m\cdot k}.
Aqui não vamos precisar muito desse último, mas é bom lembrar.
Como a\neq 0, todas essas operações são válidas.

Passo 3

Primeira simplificação: juntar as potências do numerador usando a regra do produto de potências.
a^{2(n+1)}\cdot a^{3-n}=a^{\,2(n+1)+(3-n)}.
Agora calculemos o expoente somado passo a passo:
2(n+1)+(3-n)=2n+2+3-n=(2n-n)+(2+3)=n+5.
Portanto o numerador simplifica para a^{n+5}. A expressão vira
\frac{a^{n+5}}{a^{1-n}}.

Passo 4

Segunda simplificação: dividir as potências usando a regra do quociente de potências. Subtraímos os expoentes:
\frac{a^{n+5}}{a^{1-n}}=a^{\, (n+5)-(1-n)}.
Calculemos o expoente resultante com cuidado (atenção aos sinais):
(n+5)-(1-n)=n+5-1+n=2n+4.
Logo a expressão simplificada é a^{2n+4}.

Passo 5

Podemos fazer uma pequena factorização do expoente para obter uma forma alternativa mais compacta, útil em provas:
2n+4=2(n+2),
então também podemos escrever a resposta como a^{2(n+2)}. Ambas as formas são equivalentes.

Resposta

a^{2n+4}

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