Seja n \in \mathbb{Z} e a \in \mathbb{R}^{*}, simplifique.
\frac{a^{n+4}-a^{3} \cdot a^{n}}{a^{4} \cdot a^{n}}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • n \in \mathbb{Z}.
  • a \in \mathbb{R}^{*} (ou seja, a \neq 0).
  • A expressão a simplificar é \displaystyle \frac{a^{n+4}-a^{3}\cdot a^{n}}{a^{4}\cdot a^{n}}.
    O pedido é: simplificar essa expressão algébrica.

Passo 2

Vamos lembrar e usar a regra básica de potências que serve aqui: para quaisquer inteiros p e q e para a\neq 0,
a^{p}\cdot a^{q}=a^{p+q}.
Um exemplo simples: a^{2}\cdot a^{3}=a^{5}.
Aplicando essa regra ao termo a^{3}\cdot a^{n} do numerador e ao denominador a^{4}\cdot a^{n}, obtemos:
a^{3}\cdot a^{n}=a^{n+3}, \qquad a^{4}\cdot a^{n}=a^{n+4}.
Portanto a expressão vira
\frac{a^{n+4}-a^{n+3}}{a^{n+4}}.

Passo 3

Agora vamos fatorar um fator comum no numerador. Note que tanto a^{n+4} quanto a^{n+3} têm a^{n+3} como fator comum, porque
a^{n+4}=a^{n+3}\cdot a \qquad\text{e}\qquad a^{n+3}=a^{n+3}\cdot 1.
Fatorando a^{n+3} do numerador:
a^{n+4}-a^{n+3}=a^{n+3}\bigl(a-1\bigr).
Então a expressão fica
\frac{a^{n+3}\bigl(a-1\bigr)}{a^{n+4}}.

Passo 4

Para simplificar a fração, usamos a propriedade de divisão de potências: para a\neq 0 e inteiros r,s,
\frac{a^{r}}{a^{s}}=a^{r-s}.
Escrevendo o denominador como a^{n+4}=a^{n+3}\cdot a, temos
\frac{a^{n+3}\bigl(a-1\bigr)}{a^{n+3}\cdot a}.
Como a^{n+3}\neq 0 (porque a\neq 0), podemos cancelar a^{n+3} no numerador e no denominador, ficando
\frac{a-1}{a}.
Uma forma alternativa de ver a mesma etapa usando a lei de potências é:
\frac{a^{n+3}(a-1)}{a^{n+4}}=(a-1)\,a^{(n+3)-(n+4)}=(a-1)\,a^{-1}=\frac{a-1}{a}.

Passo 5

Verificação numérica rápida (para dar segurança): escolhe-se, por exemplo, a=2 e n=1.
A expressão original é
\frac{2^{1+4}-2^{3}\cdot 2^{1}}{2^{4}\cdot 2^{1}}=\frac{2^{5}-2^{4}}{2^{5}}=\frac{32-16}{32}=\frac{16}{32}=\frac{1}{2}.
A forma final \dfrac{a-1}{a} \dfrac{2-1}{2}=\dfrac{1}{2}. Confere.

Passo 6

Conclusão: a expressão simplificada, válida para a\neq 0, é \dfrac{a-1}{a}. Essa é uma forma curta e prática de lembrar: fatorar o menor expoente comum e cancelar.

Resposta

\dfrac{a-1}{a}

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