Seja
N=\left(\begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
Mostre que N é uma matriz nilpotente. Calcule e^{x \cdot N}.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
e pede para mostrar que N é nilpotente e calcular e^{xN}. Vamos usar o conceito de matriz nilpotente — isto é, existe um inteiro k tal que N^k = 0 — e a definição do exponencial de matriz pela série de potências:
e^{xN} = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(xN)^m}{m!}.

Passo 2

Vamos calcular potências sucessivas de N. Multiplicar N por si mesma desloca os 1’s uma casa para cima na diagonal:
N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad N^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad N^4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Como N^4 = 0, concluímos que N é nilpotente de índice 4.

Passo 3

Pela definição de exponencial de matriz,
e^{xN} = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(xN)^m}{m!}.
Mas, como N^m=0 para todo m\ge4, a soma efetivamente vai apenas de m=0 até m=3:
e^{xN} = I + xN + \frac{(xN)^2}{2!} + \frac{(xN)^3}{3!}.

Passo 4

Agora substituímos cada potência de N:
I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad xN = \begin{pmatrix} 0 & x & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & x & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & x\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
\frac{(xN)^2}{2!} = \frac{x^2}{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \frac{(xN)^3}{3!} = \frac{x^3}{6}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Somando termo a termo, obtemos
e^{xN} = \begin{pmatrix} 1 & x & \tfrac{x^2}{2} & \tfrac{x^3}{6}\\\\ 0 & 1 & x & \tfrac{x^2}{2}\\\\ 0 & 0 & 1 & x\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

e^{xN} = \begin{pmatrix} 1 & x & \tfrac{x^2}{2} & \tfrac{x^3}{6}\\\\ 0 & 1 & x & \tfrac{x^2}{2}\\\\ 0 & 0 & 1 & x\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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