Seja
A=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right)
Mostre que
e^{x \cdot A}=\operatorname{cosh} (x) \cdot 1+\operatorname{senh}(x) \cdot A

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}0 & 1\\[6pt]1 & 0\end{pmatrix}
e pede para mostrar que
e^{xA} = \operatorname{cosh}(x)\,1 + \operatorname{senh}(x)\,A.
O conteúdo é exponencial de matriz, usando a série de potências e explorando que A^2=1.]

Passo 2

Lembramos a definição de exponencial de matriz via série de potências: para qualquer matriz M vale
e^{M} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{M^{k}}{k!}.
Aqui usaremos M = xA.

Passo 3

Calculamos potências de A. Observa-se facilmente que
A^2 = \begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} = 1.
Por indução segue que, para n\ge0,
A^{2n} = 1 \quad\text{e}\quad A^{2n+1} = A.

Passo 4

Escrevemos a série de e^{xA} separando termos de índice par e ímpar:
e^{xA} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(xA)^{k}}{k!} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(xA)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(xA)^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Usando A^{2n}=1 e A^{2n+1}=A, isso fica
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}\,1 +\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\,A.

Passo 5

Reconhecemos as séries hiperbólicas:
\operatorname{cosh}(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}, \qquad \operatorname{senh}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Logo a soma de potências se escreve como
\operatorname{cosh}(x)\,1 \;+\;\operatorname{senh}(x)\,A.

Resposta

e^{xA} = \operatorname{cosh}(x)\,1 \;+\;\operatorname{senh}(x)\,A.

Exercícios relacionados