Seja
Mostre que
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede para mostrar que
O conteúdo é exponencial de matriz, usando a série de potências e explorando que
.]
Passo 2
Lembramos a definição de exponencial de matriz via série de potências: para qualquer matriz
vale
Aqui usaremos
.
Passo 3
Calculamos potências de
. Observa-se facilmente que
Por indução segue que, para
,
Passo 4
Escrevemos a série de
separando termos de índice par e ímpar:
Usando
e
, isso fica
Passo 5
Reconhecemos as séries hiperbólicas:
Logo a soma de potências se escreve como