Se
e
são duas séries de termos positivos e convergentes, então mostre que
é convergente.
Passo 1
O enunciado nos dá duas séries
com
e
para todo
, e ambas convergentes. Queremos mostrar que
também converge.
Conteúdos que vamos usar: a desigualdade da média aritmética-geométrica (AM–GM) e o critério da comparação para séries de termos positivos.
Conteúdos que vamos usar: a desigualdade da média aritmética-geométrica (AM–GM) e o critério da comparação para séries de termos positivos.
Passo 2
Recordando a desigualdade AM–GM, para quaisquer
e
vale
Aplicando isso aos termos
e
, obtemos para todo
:
Passo 3
Agora somamos a desigualdade termo a termo de
até
:
Como
e
convergem, os parciais
e
são limitados quando
. Logo
Passo 4
Pelo critério da comparação (séries de termos não-negativos), como
e a série
é convergente, concluímos que
também converge.
Resposta
A série
é convergente.