Se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} e \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} são duas séries de termos positivos e convergentes, então mostre que \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_{n} \cdot b_{n}} é convergente.

Passo 1

O enunciado nos dá duas séries
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} \quad\text{e}\quad \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}
com a_{n}>0 e b_{n}>0 para todo n, e ambas convergentes. Queremos mostrar que
\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{a_{n}\,b_{n}}
também converge.
Conteúdos que vamos usar: a desigualdade da média aritmética-geométrica (AM–GM) e o critério da comparação para séries de termos positivos.

Passo 2

Recordando a desigualdade AM–GM, para quaisquer x\ge0 e y\ge0 vale
\sqrt{x\,y}\;\le\;\frac{x+y}{2}.
Aplicando isso aos termos x=a_{n} e y=b_{n}, obtemos para todo n:
\sqrt{a_{n}\,b_{n}} \;\le\; \frac{a_{n}+b_{n}}{2}.

Passo 3

Agora somamos a desigualdade termo a termo de n=1 até N:
\sum_{n=1}^{N}\sqrt{a_{n}\,b_{n}} \;\le\; \sum_{n=1}^{N}\frac{a_{n}+b_{n}}{2} \;=\; \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N}a_{n} \;+\; \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N}b_{n}.
Como \sum a_{n} e \sum b_{n} convergem, os parciais \sum_{n=1}^{N}a_{n} e \sum_{n=1}^{N}b_{n} são limitados quando N\to\infty. Logo
\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}\frac{a_{n}+b_{n}}{2} = \frac{1}{2}\Bigl(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}+\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\Bigr) <\infty.

Passo 4

Pelo critério da comparação (séries de termos não-negativos), como
\sqrt{a_{n}b_{n}}\le\frac{a_{n}+b_{n}}{2} e a série \sum\frac{a_{n}+b_{n}}{2} é convergente, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{a_{n}\,b_{n}}
também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{a_{n}\,b_{n}} é convergente.

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