Seja N um número inteiro positivo e seja
p(x)=\left\{\begin{array}{cc} c 2^{x}, & x \in\{1,2,3, \ldots, N\} \\\\ 0, & \text { caso contrário } \end{array}\right.á
Determine o valor de c para o qual p é uma função de probabilidade.

Passo 1

O enunciado define p como uma função que vale p(x)=c\,2^{x} para x\in\{1,2,\dots,N\} e zero fora desse conjunto, e pede o valor de c para que p seja uma função de probabilidade. O conteúdo aqui é normalização de uma distribuição discreta: precisamos fazer \sum_{x}p(x)=1.

Passo 2

Escrevemos a condição de normalização, somando sobre todos os valores possíveis de x:
\sum_{x=1}^{N}p(x)=\sum_{x=1}^{N}c\,2^{x}=1.

Passo 3

Fatoramos c e calculamos a soma geométrica:
c\sum_{x=1}^{N}2^{x} = c\bigl(2^{1}+2^{2}+\cdots+2^{N}\bigr).
Usando a fórmula da soma de uma progressão geométrica com razão 2,
\sum_{x=1}^{N}2^{x} = 2\,\frac{2^{N}-1}{2-1} = 2\bigl(2^{N}-1\bigr) = 2^{N+1}-2.

Passo 4

Substituindo na condição de normalização:
c\bigl(2^{N+1}-2\bigr)=1 \quad\Longrightarrow\quad c=\frac{1}{2^{N+1}-2}.

Resposta

c=\frac{1}{2^{N+1}-2}.

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