Se X \sim Geométrica (p), determine a função de probabilidade de Y=X-1.

Passo 1

O enunciado diz que X segue uma distribuição Geométrica de parâmetro p, com suporte \{1,2,3,\dots\}, e define Y = X - 1. Queremos a função de probabilidade (pmf) de Y.

Passo 2

Como X só assume valores inteiros a partir de 1, a variável Y=X-1 assume valores em \{0,1,2,\dots\}.

Passo 3

Para toda k\in\{0,1,2,\dots\},
P(Y = k) \;=\; P(X - 1 = k) \;=\; P\bigl(X = k+1\bigr).

Passo 4

A pmf de X é
P(X = x) = (1-p)^{\,x-1}\,p, \quad x = 1,2,3,\dots
Logo, substituindo x = k+1,
P(Y = k) = (1-p)^{(k+1)-1}\,p = (1-p)^{k}\,p.

Resposta

P(Y = k) = (1-p)^{k}\,p, \quad k = 0,1,2,\dots

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