Seja
um número natural. Mostre que um, e somente um, número de cada terno abaixo é divisível por 3
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados três números inteiros consecutivos
com
, existe exatamente um deles que é múltiplo de 3.
Conteúdo envolvido: classes de equivalência módulo 3 e o Algoritmo da Divisão.
Conteúdo envolvido: classes de equivalência módulo 3 e o Algoritmo da Divisão.
Passo 2
Pelo Algoritmo da Divisão na base 3, existem únicos
e
tais que
Passo 3
Analisamos os três casos de
:
- Se
, então
é divisível por 3, e
não são.
- Se
, então
mas
é divisível por 3;
e
não são.
- Se
, então
mas
é divisível por 3;
e
não são.
Em cada caso existe pelo menos um número do terno que é múltiplo de 3.
Passo 4
Mostramos que não podem existir dois distintos dentre
que sejam múltiplos de 3. De fato, se dois fossem ambos divisíveis por 3, sua diferença seria também múltipla de 3, mas as diferenças possíveis entre esses números são apenas 1 ou 2 (nenhuma delas é múltipla de 3). Logo, no máximo um é divisível por 3.
Resposta
Concluímos que exatamente um dos números
,
e
é divisível por 3.