Seja n>0 um número natural. Mostre que um, e somente um, número de cada terno abaixo é divisível por 3
n, n+1, n+2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados três números inteiros consecutivos
n,\;n+1,\;n+2
com n>0, existe exatamente um deles que é múltiplo de 3.
Conteúdo envolvido: classes de equivalência módulo 3 e o Algoritmo da Divisão.

Passo 2

Pelo Algoritmo da Divisão na base 3, existem únicos q\in\mathbb{N} e r\in\{0,1,2\} tais que
n = 3q + r.

Passo 3

Analisamos os três casos de r:
  • Se r=0, então
n = 3q
é divisível por 3, e
n+1=3q+1,\quad n+2=3q+2
não são.
  • Se r=1, então
n = 3q+1,
mas
n+2 = 3q+3 = 3(q+1)
é divisível por 3; n e n+1 não são.
  • Se r=2, então
n = 3q+2,
mas
n+1 = 3q+3 = 3(q+1)
é divisível por 3; n e n+2 não são.
Em cada caso existe pelo menos um número do terno que é múltiplo de 3.

Passo 4

Mostramos que não podem existir dois distintos dentre n,n+1,n+2 que sejam múltiplos de 3. De fato, se dois fossem ambos divisíveis por 3, sua diferença seria também múltipla de 3, mas as diferenças possíveis entre esses números são apenas 1 ou 2 (nenhuma delas é múltipla de 3). Logo, no máximo um é divisível por 3.

Resposta

Concluímos que exatamente um dos números n, n+1 e n+2 é divisível por 3.

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