Seja
um número natural. Mostre que um, e somente um, número de cada terno abaixo é divisível por 3
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dado
inteiro, exatamente um dos números
é múltiplo de 3. Vamos usar aritmética modular módulo 3, isto é, estudar as classes de
em
.
Passo 2
Como
e
, temos as congruências
Passo 3
Analisamos os três possíveis resíduos de
módulo 3:
- Se
, então
logo apenas
é múltiplo de 3.
- Se
, então
logo apenas
é múltiplo de 3.
- Se
, então
logo apenas
é múltiplo de 3.
Em cada caso aparece exatamente um termo congruente a
, os outros são
ou
.
Resposta
Assim, para todo inteiro
, um e somente um entre
,
e
é divisível por 3.