Encontre \frac{d y}{d x} derivando implicitamente.
x^{3}+x^{2} y+4 y^{2}=6

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x^{3} + x^{2}y + 4y^{2} = 6
e pede a derivada \frac{dy}{dx} obtida por diferenciação implícita. Vamos usar regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Diferenciamos ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(4y^{2}\bigr) = \frac{d}{dx}(6).
Aplicando as regras:
3x^{2} + \bigl(2x\,y + x^{2}\,\frac{dy}{dx}\bigr) + 8y\,\frac{dy}{dx} = 0.

Passo 3

Agrupamos os termos que contêm \frac{dy}{dx}:
x^{2}\,\frac{dy}{dx} + 8y\,\frac{dy}{dx} + 3x^{2} + 2x\,y = 0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(x^{2} + 8y\bigr)\frac{dy}{dx} + \bigl(3x^{2} + 2x\,y\bigr) = 0.

Passo 4

Isolando \frac{dy}{dx}, obtemos
(x^{2} + 8y)\,\frac{dy}{dx} = -\bigl(3x^{2} + 2x\,y\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{3x^{2} + 2x\,y}{x^{2} + 8y}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^{2} + 2x\,y}{x^{2} + 8y}.

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