Encontre \frac{d y}{d x} derivando implicitamente.
x^{2} y^{2}+x \operatorname{sen} y=4

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x^{2}y^{2}+x\,\sin y = 4
e pede \frac{dy}{dx}. Vamos usar diferenciação implícita, aplicando regra do produto e regra da cadeia sempre que aparecer y como função de x.

Passo 2

Derivando o primeiro termo x^{2}y^{2} em relação a x, tratamos como produto de x^{2} por y^{2}. Assim,
\frac{d}{dx}(x^{2}y^{2}) =\frac{d}{dx}(x^{2})\cdot y^{2}+x^{2}\cdot\frac{d}{dx}(y^{2}) =2x\,y^{2}+x^{2}\cdot(2y\,y').

Passo 3

Derivando o segundo termo x\sin y, também usamos regra do produto:
\frac{d}{dx}(x\sin y) =\frac{d}{dx}(x)\cdot\sin y + x\cdot\frac{d}{dx}(\sin y) =\sin y + x\cdot(\cos y\;y').

Passo 4

A derivada do lado direito 4 é zero. Somando tudo e igualando a zero, obtemos
2x\,y^{2}+2x^{2}y\,y' + \sin y + x\cos y\,y' = 0.
Agora agrupamos os termos que envolvem y' de um lado e os demais do outro:
(2x^{2}y + x\cos y)\,y' + (2x\,y^{2} + \sin y) = 0.

Passo 5

Isolando y', fica
(2x^{2}y + x\cos y)\,y' = -\bigl(2x\,y^{2} + \sin y\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y' = -\frac{2x\,y^{2} + \sin y}{2x^{2}y + x\cos y}.

Resposta

\frac{dy}{dx} =-\frac{2x\,y^{2} + \sin y}{2x^{2}y + x\cos y}.

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