Seja ( a_{n} ) uma sequência e suponha que exista k \in \mathbb{R}, com 0<k<1 tal que para todo n \in \mathbb{N} \left|a_{n+1}\right| \leq k\left|a_{n}\right|. Mostre que ( a_{n} ) converge para zero.

Passo 1

O enunciado diz que (a_n) é uma sequência real (ou complexa) tal que existe k\in\mathbb{R} com 0<k<1 e
\left|a_{n+1}\right|\le k\,\left|a_n\right|
para todo n\in\mathbb{N}. Queremos mostrar que a_n\to0. Vamos usar indução para obter uma desigualdade de tipo geométrico e depois usar o fato de que k^n\to0.

Passo 2

Prova por indução de que
\left|a_n\right|\le k^n\,\left|a_0\right|\quad\forall n\in\mathbb{N}.
Base ( n=0):
\left|a_0\right|\le k^0\,\left|a_0\right|=\left|a_0\right|,
que é trivial.
Passo indutivo: suponha \left|a_n\right|\le k^n\left|a_0\right|. Então pela hipótese
\left|a_{n+1}\right|\le k\,\left|a_n\right|\le k\bigl(k^n\left|a_0\right|\bigr)=k^{n+1}\left|a_0\right|.
Logo a desigualdade vale para todo n.

Passo 3

Como 0<k<1, sabemos que
\lim_{n\to\infty}k^n=0.
Pela desigualdade \bigl|a_n\bigr|\le k^n\bigl|a_0\bigr| e pelo Teorema do Confronto, segue
\lim_{n\to\infty}\left|a_n\right|=0.
Isto implica \lim_{n\to\infty}a_n=0.

Resposta

A sequência (a_n) converge para zero.

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