Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona.
\left(\frac{(2 n)!}{5^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_n = \frac{(2n)!}{5^n}
e pede para determinar se ela é crescente, decrescente ou não monótona. O conteúdo aqui é monotonicidade de sequência, e vamos usar o critério da razão a_{n+1}/a_n.

Passo 2

Calculemos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(2(n+1))!}{5^{\,n+1}}}{\frac{(2n)!}{5^n}} = \frac{(2n+2)!}{5^{\,n+1}}\cdot\frac{5^n}{(2n)!} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{5}.

Passo 3

Analisamos o sinal de
r_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{5}.
Para n\ge1 temos
(2n+1)(2n+2)\ge(2\cdot1+1)(2\cdot1+2)=3\cdot4=12>5,
logo r_n>1 para todo n\ge1. Assim a_{n+1}>a_n sempre que n\ge1.

Passo 4

Como a razão entre termos consecutivos é sempre maior que 1 (para n\ge1), concluímos que a sequência é estritamente crescente.

Resposta

A sequência \displaystyle\frac{(2n)!}{5^n} é estritamente crescente.

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