Seja N um subgrupo normal de
. O grupo quociente é o conjunto das classes laterais
. Mostre que a operação em
, definida por
, é bem definida.
Passo 1
O enunciado nos dá:
-
é um subgrupo normal de . - O conjunto quociente
é (as classes laterais à esquerda). - Foi definida uma operação em
por .
O que pede: mostrar que essa operação é bem definida, isto é, mostrar que o produto de classes não depende da escolha dos representantes. Formalmente, preciso provar que se
então
Explicando o que significa “bem definida” de forma prática (para a prova): quando se define uma operação em classes (ou quociente) usando representantes, deve-se verificar que tomar representantes diferentes da mesma classe dá o mesmo resultado. Então a tarefa é mostrar que trocar
por outro representante
da mesma classe e trocar
por outro representante
da mesma classe não altera a classe do produto.
Passo 2
Fato útil (critério de igualdade de classes): para quaisquer
,
Prova curta desse fato (útil na prova):
- Se
então , logo existe tal que . Então . - Reciprocamente, se
então , logo . Pelo mesmo raciocínio invertendo obtém-se , portanto .
Esse critério será usado para transformar igualdades de classes em afirmações sobre elementos que pertencem a
.
Passo 3
Lembrar o que significa
normal:
normal em
quer dizer uma das coisas equivalentes:
ou, equivalentemente,
A última forma diz que
é estável por conjugação: qualquer conjugado de um elemento de
permanece em
. Esse fato permitirá “passar” elementos de
através de outros elementos de
mantendo-os em
.
Passo 4
Começo da prova principal. Suponha que
Pelo critério do Passo 3, temos
Calculo o elemento
e mostro que ele pertence a
. Se conseguir isso, pelo critério do Passo 3 segue que
, que é exatamente o que queremos.
Compute:
Agora manipulo esse produto para isolá‑lo como produto de elementos de
. Observe que
Escrevo
e uso associatividade:
Agora analiso os dois fatores finais:
-
por hipótese. Como é normal, o conjugado também pertence a . -
por hipótese.
Como o produto de elementos de
ainda está em
, segue que
Portanto
. Pelo critério do Passo 3 concluímos que
Isso mostra que o produto de classes não depende dos representantes escolhidos.
Passo 5
Comentário prático para a prova (dica): na hora da prova escreva direto a sequência lógica curta: assumir
; então
; usar normalidade para ver que
; multiplicar por
e concluir
; aplicar o critério de igualdade de classes. Assim a demonstração fica enxuta e rigorosa.
Resposta
A operação está bem definida: se
e
então
.