Seja N um subgrupo normal de G. O grupo quociente é o conjunto das classes laterais G / N=\{a N \mid a \in G\}. Mostre que a operação em G / N, definida por (a N)(b N)=(a b) N, é bem definida.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • N é um subgrupo normal de G.
  • O conjunto quociente G/N é \{aN \mid a\in G\} (as classes laterais à esquerda).
  • Foi definida uma operação em G/N por (aN)(bN)=(ab)N.
O que pede: mostrar que essa operação é bem definida, isto é, mostrar que o produto de classes não depende da escolha dos representantes. Formalmente, preciso provar que se
aN=a'N\quad\text{e}\quad bN=b'N,
então
(ab)N=(a'b')N.
Explicando o que significa “bem definida” de forma prática (para a prova): quando se define uma operação em classes (ou quociente) usando representantes, deve-se verificar que tomar representantes diferentes da mesma classe dá o mesmo resultado. Então a tarefa é mostrar que trocar a por outro representante a' da mesma classe e trocar b por outro representante b' da mesma classe não altera a classe do produto.

Passo 2

Fato útil (critério de igualdade de classes): para quaisquer x,y\in G,
xN=yN \iff x^{-1}y\in N.
Prova curta desse fato (útil na prova):
  • Se xN=yN então y\in xN, logo existe n\in N tal que y=xn. Então x^{-1}y=n\in N.
  • Reciprocamente, se x^{-1}y\in N então y=x(x^{-1}y)\in xN, logo yN\subseteq xN. Pelo mesmo raciocínio invertendo x,y obtém-se xN\subseteq yN, portanto xN=yN.
Esse critério será usado para transformar igualdades de classes em afirmações sobre elementos que pertencem a N.

Passo 3

Lembrar o que significa N normal: N normal em G quer dizer uma das coisas equivalentes:
gN=Ng\quad\text{para todo }g\in G,
ou, equivalentemente,
gng^{-1}\in N\quad\text{para todo }g\in G\text{ e todo }n\in N.
A última forma diz que N é estável por conjugação: qualquer conjugado de um elemento de N permanece em N. Esse fato permitirá “passar” elementos de N através de outros elementos de G mantendo-os em N.

Passo 4

Começo da prova principal. Suponha que
aN=a'N\quad\text{e}\quad bN=b'N.
Pelo critério do Passo 3, temos
a^{-1}a'\in N\quad\text{e}\quad b^{-1}b'\in N.
Calculo o elemento (ab)^{-1}(a'b') e mostro que ele pertence a N. Se conseguir isso, pelo critério do Passo 3 segue que (ab)N=(a'b')N, que é exatamente o que queremos.
Compute:
(ab)^{-1}(a'b')=b^{-1}a^{-1}a'b'.
Agora manipulo esse produto para isolá‑lo como produto de elementos de N. Observe que
b^{-1}a^{-1}a'b' = b^{-1}(a^{-1}a')b' .
Escrevo b' = b(b^{-1}b') e uso associatividade:
b^{-1}(a^{-1}a')b' = b^{-1}(a^{-1}a')\,b\,(b^{-1}b').
Agora analiso os dois fatores finais:
  • a^{-1}a'\in N por hipótese. Como N é normal, o conjugado b^{-1}(a^{-1}a')b também pertence a N.
  • b^{-1}b'\in N por hipótese.
Como o produto de elementos de N ainda está em N, segue que
b^{-1}(a^{-1}a')\,b\,(b^{-1}b')\in N.
Portanto (ab)^{-1}(a'b')\in N. Pelo critério do Passo 3 concluímos que
(ab)N=(a'b')N.
Isso mostra que o produto de classes não depende dos representantes escolhidos.

Passo 5

Comentário prático para a prova (dica): na hora da prova escreva direto a sequência lógica curta: assumir aN=a'N,\\ bN=b'N; então a^{-1}a',\\ b^{-1}b'\in N; usar normalidade para ver que b^{-1}(a^{-1}a')b\in N; multiplicar por b^{-1}b'\in N e concluir (ab)^{-1}(a'b')\in N; aplicar o critério de igualdade de classes. Assim a demonstração fica enxuta e rigorosa.

Resposta

A operação está bem definida: se aN=a'N e bN=b'N então (ab)N=(a'b')N.

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